Modelo de vibraciones con muelles y masas (Grupo 3B)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Modelo de vibraciones con muelles y masas (Grupo 3B) |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2016-17 |
| Autores | Alejandro García García - 2006; Cindy Devia Preciado - 2134; Juan Carlos López Segovia - 2183; Lays Oscarina de Souza Soares - 2333; Rafael Ventura Márquez de Prado Arrarás - 2019; Sofía de Miguel González - 2132 |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de tres masas unidas entre sí y con dos paredes en los extremos mediante muelles, que deslizan libremente sobre un plano horizontal.
1 Modelización del sistema
Llamaremos [math] p_i0 [/math] a la posición de equilibrio para cada masa y [math] x_i [/math] al desplazamiento de cada muelle, el cual consideraremos positivo hacia la derecha. Entonces [math] P_i [/math] que es la posición de cada masa se define así::
[math] P_1(t)=p_10+x_1(t) [/math]: [math] P_2(t)=p_20+x_2(t) [/math]: [math] P_3(t)=p_30+x_3(t) [/math]:
Llamando [math] k_i [/math] a las constantes de recuperación de cada muelle, considerando nulo el rozamiento y ningún amortiguamiento se puede ver que las fuerzas que actúan sobre cada masa son: Masa 1: [math] F_1=-k_1x_1 [/math]:
[math] F_2=k_2(x_2-x_1) [/math]
Masa 2: [math] F_3=-k_2(x_2-x_1) [/math]:
[math] F_4=k_3(x_3-x_2) [/math]
Masa 3: [math] F_5=-k_3(x_3-x_2) [/math]:
[math] F_6=-k_4x_3 [/math]
Aplicando la Ley de Hooke y la Segunda Ley de Newton, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:: [math]\begin{cases}m_1x_1''=-k_1x_1+k_2(x_2-x_1)\\m_2x_2''=-k_2(x_2-x_1)+k_3(x_3-x_2)\\m_3x_3''=-k_3(x_3-x_2)-k_4x_3\end{cases}[/math]
Ahora reduzimos para un sistema de orden 1:: [math]\begin{cases}x_1'=v_1\\x_2'=v_2\\x_3'=v_3\\v_1'=\frac{1}{m_1}(-k_1x_1+k_2(x_2-x_1))\\v_2'=\frac{1}{m_2}(-k_2(x_2-x_1)+k_3(x_3-x_2))\\v_3'=\frac{1}{m_3}(-k_3(x_3-x_2)-k_4x_3)\end{cases}[/math]
Para resolverlo necesitaremos seis condiciones iniciales que serán las posiciones y velocidades iniciales de cada masa.
2 Resolución del sistema
En primer lugar resolveremos el sistema tomando los desplazamientos iniciales de las masas como 0.4, 0.9 y 0.6 metros hacia la derecha de la posición de equilibrio y con velocidad inicial nula en las tres masas. Para eso vamos a considerar que [math] k_1 = 3.5 N/m [/math], [math] k_2 = 2.1 N/m [/math], [math] k_3 = 2.5 N/m [/math], [math] k_4 = 3.1 N/m [/math], [math] m_1 = 2.3 kg [/math], [math] m_2 = 1.1 kg [/math], [math] m_3 = 3.3 kg [/math], considerando también que la distancia entre las paredes es de 13 metros y las posiciones de equilibrio de las tres masas son 3, 6 y 9 metros.
De esta forma el problema queda así:: [math]\begin{cases}x_1'=v_1\\x_2'=v_2\\x_3'=v_3\\v_1'=\frac{1}{2.3}(-3.5x_1+2.1(x_2-x_1))\\v_2'=\frac{1}{1.1}(-2.1(x_2-x_1)+2.5(x_3-x_2))\\v_3'=\frac{1}{3.3}(-2.5(x_3-x_2)-3.1x_3)\end{cases}[/math]
Resolveremos utilizando los siguientes métodos:
- Método de Runge-Kutta
- Método de Euler modificado
Para eso utilizaremos [math] h = 0.025 m [/math] y [math] h = 0.1 m [/math]
2.1 Runge-Kutta
El primer código de Matlab (Con paso [math] h = 0.025 [/math]) es este:
% 1º - Datos del programa:
t0=0; %Tiempo Inicial
tf=20; %Tiempo Final
y0=[0.4; 0.9;0.6;0;0;0]; %El orden con el que vamos a obtener las soluciones es x1, x2, x3, x1', x2', x3'
% 2º - Discretizacion:
h=0.025; %Tamaño del paso
N=(tf-t0)/h; %Número de intervalos
t=t0:h:tf; %Vector tiempo
% 3º - Metodo numerico (Metodo de Runge-Kutta):
%Creamos el vector de soluciones (vacío)
y=zeros(6,N+1);
%La solución en el inicio es dato
y(:,1)=y0;
%Convertimos el sistema en una matriz por el vector 'y', obteniéndose la función F
F=@(t,y) [y(4);y(5);y(6);(1/2.3)*(-3.5*y(1)+2.1*(y(2)-y(1)));(1/1.1)*(-2.1*(y(2)-y(1))+2.5*(y(3)-y(2)));(1/3.3)*(-2.5*(y(3)-y(2))-3.1*y(3))];
%Aplicamos el método Runge-Kutta
for n=1:N
k1=F(t(n),y(:,n));
k2=F(t(n)+0.5*h,y(:,n)+0.5*k1*h);
k3=F(t(n)+0.5*h,y(:,n)+0.5*k2*h);
k4=F(t(n)+h,y(n)+k3*h);
y(:,n+1)=y(:,n)+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
end
%Ahora para calcular los desplazamientos entorno a las posiciones de
%equilibrio de cada masa, sumamos la propia posición de equilibrio a cada
%una
y(1,:)=y(1,:)+ones(1,N+1)*3;
y(2,:)=y(2,:)+ones(1,N+1)*6;
y(3,:)=y(3,:)+ones(1,N+1)*9;
% 4º - Post Proceso:
%Ahora dibujamos el gráfico y añadimos los nombres de los ejes y un título
plot(t,y(1:3,:))
ylabel('Posicion de la masa')
xlabel('Tiempo')
title('Runge-Kutta')
legend('x1(t)','x2(t)','x3(t)');
Y se obtiene la siguiente gráfica:
En esta gráfica podemos observar que las tres masas no van a oscilar de la misma manera; la uno y la dos lo harán de manera irregular mientras que la tres se asemeja más a un movimiento armónico. Además se ve que las masas no tienden a detenerse para un tiempo infinito sino que oscilan en torno a la posición de equilibrio.
