Modelo de vibraciones con muelles y masas (Grupo 3B)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Modelo de vibraciones con muelles y masas (Grupo 3B) |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2016-17 |
| Autores | Alejandro García García - 2006; Cindy Devia Preciado - 2134; Juan Carlos López Segovia - 2183; Lays Oscarina de Souza Soares - 2333; Rafael Ventura Márquez de Prado Arrarás - 2019; Sofía de Miguel González - 2132 |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
En este trabajo vamos a estudiar el comportamiento de tres masas unidas entre sí y con dos paredes en los extremos mediante muelles, que deslizan libremente sobre un plano horizontal.
1 Modelización del sistema
Llamaremos [math] p_i0 [/math] a la posición de equilibrio para cada masa y [math] x_i [/math] al desplazamiento de cada muelle, el cual consideraremos positivo hacia la derecha. Entonces [math] P_i [/math] que es la posición de cada masa se define así::
[math] P_1(t)=p_10+x_1(t) [/math]: [math] P_2(t)=p_20+x_2(t) [/math]: [math] P_3(t)=p_30+x_3(t) [/math]:
Llamando [math] k_i [/math] a las constantes de recuperación de cada muelle, considerando nulo el rozamiento y ningún amortiguamiento se puede ver que las fuerzas que actúan sobre cada masa son: Masa 1: [math] F_1=-k_1x_1 [/math]:
[math] F_2=k_2(x_2-x_1) [/math]
Masa 2: [math] F_3=-k_2(x_2-x_1) [/math]:
[math] F_4=k_3(x_3-x_2) [/math]
Masa 3: [math] F_5=-k_3(x_3-x_2) [/math]:
[math] F_6=-k_4x_3 [/math]
Aplicando la Ley de Hooke y la Segunda Ley de Newton se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:: [math]\begin{cases}m_1x_1''=-k_1x_1+k_2(x_2-x_1)\\m_2x_2''=-k_2(x_2-x_1)+k_3(x_3-x_2)\\m_3x_3''=-k_3(x_3-x_2)-k_4x_3\end{cases}[/math]
Ahora transformamos el sistema para sea de orden 1:: [math]\begin{cases}x_1'=v_1\\x_2'=v_2\\x_3'=v_3\\v_1'=\frac{1}{m_1}(-k_1x_1+k_2(x_2-x_1))\\v_2'=\frac{1}{m_2}(-k_2(x_2-x_1)+k_3(x_3-x_2))\\v_3'=\frac{1}{m_3}(-k_3(x_3-x_2)-k_4x_3)\end{cases}[/math]
Para resolverlo necesitaremos seis condiciones iniciales que serán las posiciones y velocidades iniciales de cada masa.
2 Resolución del sistema
En primer lugar resolveremos el sistema tomando los desplazamientos iniciales de las masas como 0.4, 0.9 y 0.6 metros y con velocidad inicial nula en las tres masas. También vamos a considerar que [math] k1 = 3.5N/m [/math], [math] k2 = 2.1N/m [/math], [math] k3 = 2.5N/m [/math], [math] k4 = 3.1N/m [/math], [math] m1 = 2.3kg [/math], [math] m2 = 1.1kg [/math], [math] m3 = 3.3kg [/math], la distancia entre las paredes es de 13 metros y las posiciones de equilibrio de las tres masas son 3, 6 y 9 metros.
