Explotación Minera (Grupo 4B)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Explotación Minera
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2016-17
Autores	Nerea Portillo Juan, Andrea del Río las Heras, Alejandro González Olaizola, María Calvo Jorge, Iker González Araquistain
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El objetivo de este trabajo es analizar la curva de producción de una explotación minera. Para ello se irán respondiendo a las cuestiones planteadas, analizando los resultados obtenidos y extrayendo conclusiones de dichos resultados.

2 ¿Qué ecuación relaciona la producción P y la función Q?

Para poder hallar la relación entre P y Q debemos primero definirlas:

-Q → Cantidad de mineral extraído desde el inicio hasta un tiempo t en toneladas.

-P → Producción en toneladas/año.

Así, la relación entre ambas será la siguiente:

[math] P = \frac{dQ}{dt} [/math]

3 Calibrar el modelo de Gompertz determinando el valor del coeficiente r con los datos que se dispone

Para poder hallar el coeficiente r debemos tener en cuenta los siguiente datos:

-Ecuación diferencial del modelo de Gompertz:

[math] \frac{dQ}{dt} = rQlog\frac{K}{Q} [/math]

Si tenemos en cuenta que hemos definido P como [math] \frac{dQ}{dt} [/math] podemos decir que:

[math] P = rQlog\frac{K}{Q} [/math] (1)

-K es igual a la cantidad total extraíble de mineral, que son 30.800 toneladas.

-La producción máxima es de 510 t/año, por lo que derivando P respecto de Q se haya Q igualando a 0:

[math] \frac{dP}{dQ} = rlog\frac{K}{Q}-r = 0 [/math]

[math] r(log\frac{K}{Q}-1) = 0 [/math]

[math] \frac{K}{Q} = e → Q = \frac{K}{e} = 11.331 [/math]

Ahora que tenemos los datos se puede sustituir en la ecuación (1)

[math] 510 = 11.331r → r = 0,045 [/math]

4 Obtener la función P(Q) y dibujar una gráfica con la producción respecto al volumen extraído para 0 ≤ Q ≤ K

La función ya la hemos calculado anteriormente:

[math] P = rQlog\frac{K}{Q} = 0,045Qlog\frac{30.800}{Q} [/math]

Ayudándonos con matlab representamos los valores de P respecto a Q:

%Gráfica Gompertz
t0=0; %tiempo inicial
tN=30800; %tiempo final
q=t0:1:tN;
p1=0.045*q.*log(30800./q); %función definida
plot(q,p1)

centro

Conclusiones de los resultados obtenidos:

Como era de esperar, la producción crece increíblemente rápido cuando la mina se empieza a explotar, sin embargo, al acercarnos a las 12.500 toneladas vemos como la producción alcanza su máximo y desciende drásticamente. Esto se debe a que los recursos están limitados, puesto que la cantidad total extraíble de mineral es de 30800 toneladas, de tal forma que conforme estos recursos van disminuyendo también lo hace la producción. Al principio la explotación será muy eficiente pero a medida que se consumen los recursos la producción será menor hasta alcanzar un valor de 0 cuando se ha extraído todo el mineral posible (30800 toneladas).

5 Calibrado mediante modelo de Verhulst

-Ecuación diferencial del modelo de Verhulst:

[math] Q' = rQ(1-\frac{Q}{K}) [/math]

Definiendo P como Q' = \frac{dQ}{dt} podremos decir que:

[math] P = rQ(1-\frac{Q}{K}) '''(2)''' [/math]

-K es igual a la cantidad total extraíble de mineral que son 30.800 toneladas.

-La producción máxima es de 510 t/año, y derivando P respecto de Q e igualando a 0 se halla Q:

[math] \frac{dP}{dQ} = r-\frac{2rQ}{K} = 0 → Q = 0.5K = 15.400 t [/math]

Teniendo todos los datos se puede sustituir en la ecuación (2)

[math] 510 = 15.400r(1-\frac{15.400}{30.800}) → r = 0,066 [/math]

Obteniendo como resultado la función P(Q)

[math] P = 0,066Q(1-\frac{Q}{30.800} [/math]

Trabajando con matlab compararemos las gráficas de ambos resultados:

%Comparación gráfica Gompertz y Verhulst
t0=0; %tiempo inicial
tN=30800; %tiempo final
q=t0:1:tN;
p1=0.045*q.*log(30800./q); %función definida 1
hold on
plot(q,p1)
p2=0.066.*q.*(1-q./30800); %función definida 2
plot(q,p2)
hold off

centro

Conclusiones de los resultados obtenidos:

El descenso de producción según el modelo Verhulst es simétrico respecto al crecimiento, lo que le convierte en un modelo que se adapta peor que el Gompertz, ya que según la demanda de dicho mineral y las características técnicas de su extraccíon se espera un crecimiento rápido de la producción y un descenso más progresivo y lento, condicionado entre otros factores, por debilitamiento de la demanda (también progresivo) y a las dificultades técnicas, cada vez mayores de la extracción.

6 Problema de valor inicial

[math] \frac{dQ}{dt} = 0,045Qlog\frac{30.800}{Q} [/math]

La producción comienza a descender a los 27 años (324 meses) del comienzo de la explotación. En ese momento la cantidad de material explotado es Q = 11.332 t, dónde se encuentra al máximo de producción. Luego:

[math] Q(324) = 11.332 t [/math]

Dando lugar al problema de valor inicial:

[math] \frac{dQ}{dt} = 0,045Qlog\frac{30.800}{Q} [/math]

[math] Q(0) = 0 [/math]

El tiempo final de la explotación será aquel dónde la producción descienda a 100 t/año, esto es, hasta que se exploten 28490 t. Primero hallamos la función para un tiempo final desconocido:

t0=0; %tiempo inicial
tN=350; %tiempo final
q0=0.00000001;
f=@(t,q) 0.045*q.*log(30800./q); %función definida
h=1/12;
N=round((tN-t0)/h); 
t=t0:h:tN; 
%Definimos el valor q0 inicial 
    q=zeros(size(t));
    q(1)=q0
    
    %Euler
         for i=1:N
            q(i+1)=q(i)+h*f(t(i),q(i));
         end
         plot(t,q)
end

centro

Ahora debemos saber en qué momento se llega a explotar los 28.490 t, que es a los 132 años (1.589 meses).

t0=0; %tiempo inicial
tN=132; %tiempo final
q0=0.00000001;
f=@(t,q) 0.045*q.*log(30800./q); %función definida
h=1/12;
N=round((tN-t0)/h); 
t=t0:h:tN; 
%Definimos el valor q0 inicial 
    q=zeros(size(t));
    q(1)=q0
    
    %Euler
         for i=1:N
            q(i+1)=q(i)+h*f(t(i),q(i));
         end
         plot(t,q)
end

centro

7 Repetir el apartado anterior con los métodos de Runge Kutta de cuarto orden y Heun

Con las condiciones del apartado anterior nos dedicaremos simplemente a resolver el problema de valor inicial por dos métodos diferentes.

%Runge Kutta
t0 = 0; %tiempo inicial
tN = 132; %tiempo final
Q0 = 0.00000001; %valor inicial
f = @(t,Q)(0.045*Q.*log(30800./Q)); %función definida
h = 1/12; %discretización
N = round((tN-t0)/h);
t = linspace(t0,tN,N+1); %definición de la variable independiente
Q = zeros(1,N+1); %vector solución
Q(:,1) = Q0;

for k = 1:N %programa
    K1 = f(t(k),Q(:,k));
    K2 = f(t(k)+0.5*h,Q(:,k)+0.5*K1*h);
    K3 = f(t(k)+0.5*h,Q(:,k)+0.5*K2*h);
    K4 = f(t(k)+h,Q(:,k)+K3*h);
    Q(:,k+1) = Q(:,k)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
end

hold on
plot(t,Q,'r')
legend('Runge Kutta');
hold off

%Heun
t0 = 0; %tiempo inicial
tN = 132; %tiempo final
Q0 = 0.00000001; %valor inicial
f = @(t,Q)(0.045*Q.*log(30800./Q)); %función definida
h = 1/12; %discretización
N = round((tN-t0)/h);
t = linspace(t0,tN,N+1); %definición de la variable independiente
Q = zeros(1,N+1); %vector solución
Q(:,1) = Q0;

for k = 1:N %programa
    K1 = f(t(k),Q(:,k));
    K2 = f(t(k)+h,Q(:,k)+K1*h);
    Q(:,k+1) = Q(:,k)+h/2*(K1+K2);
end

hold on
plot(t,Q,'b')
legend('Heun','b');
hold off

Los códigos anteriores nos dan como resultado las gráficas siguientes. Debido al gran parecido entre ambas se ha descartado superponerlas en una misma gráfica.

centro

centro

8 Si tomamos un tiempo mayor, ¿hacia qué valor tiende Q cuando t tiende a infinito?

Nos están pidiendo qué cantidad de material de la cantera será extraído pasado un tiempo muy grande. Para ello debemos recordar el problema de valor inicial anteriormente hallado:

[math] \frac{dQ}{dt} = 0,045Qlog\frac{30.800}{Q} [/math]

[math] Q(0) = 0 [/math]

Debemos calcular la solución exacta de Q(t) analíticamente. Tras varios cálculos se llega a:

[math] Q(t) = 30.800*2,71828^{-2,71828^{-C-0,045t}} [/math]

Para obtener la cantidad de material obtenido tras un tiempo muy largo debemos calcular el límite de Q(t) cuando t tiende a infinito:

[math] \displaystyle\lim_{t \to{+}\infty}{Q(t)} = 30.800*2,71828^{0} = 30.800 toneladas [/math]

Se tiene, pues, que la cantidad máxima de material extraído es 30.800 toneladas.