Área de un polígono

En este artículo vamos a hacer una función en MATLAB que calcula el área de un polígono.

Vamos a empezar deduciendo una fórmula general a partir de las coordenadas de sus vértices.Supongamos primero que es un triángulo con vértices [math] V_i = (x_i,y_i), \; i=1,2,3[/math]

Triángulo

. Si definimos [math] \{ \vec i, \vec j\} [/math] los vectores de la base cartesiana en la que están dados los vértices, entonces dos lados del triángulo están formados por los vectores:

[math] \vec{V_2V_1} = (x_2-x_1)\vec i + (y_2-y_1)\vec j, \qquad \vec{V_3V_1} = (x_3-x_1)\vec i + (y_3-y_1)\vec j. [/math]

El módulo del producto vectorial de estos vectores es el área del paralelogramo que forman, es decir el doble del área del triángulo. Por tanto,

[math] \begin{eqnarray*} S&=&\frac12 \vec{V_2V_1} \times \vec{V_3V_1} = \frac12|((x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1))\vec k|\\ &=&\frac12|y_1(x_3-x_1)+y_2(x_1-x_3)+y_3(x_2-x_1)|=\frac12|\sum_{i=1}^3y_i(x_{i-1}-x_{i+1})|. \end{eqnarray*} [/math]

tomando la regla de que [math]x_0=x_3, \; x_4=x_1[/math].

En el caso de un polígono convexo podemos triangulizarlo usando las diagonales a partir de un vértice y sumar el área de los triángulos que se forman (ver la figura)

triangulación a partir de las diagonales para calcular el área como la suma del área de triángulos