Reacciones complejas GRUPO 1A

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Reacciones complejas Grupo 1A
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2015-16
Autores	Pablo Medina Higueras Jesús Caballero Pozo Jaime Delage Ramírez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,

                                                  A + B → C

Supondremos que se satisface la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos.

2 Interpretación de las constantes y PVI para calcular la concentración de C

En primer lugar, interpretaremos las constantes y variables de la siguiente ecuación diferencial,esta ecuación diferencial será la de la ley de masas:

                                         y'(t) = k1(a0 − y(t))(b0 − y(t)), siendo t>0 

donde:

  y'(t) = Representa la velocidad de la reacción química, es decir, la velocidad con  que se produce C.
  k1 = Constante de proporcionalidad.  
  a0 = Concentración inicial de A.
  y(t) = Evolución de la concentración de  C a lo largo del tiempo.
  b0 = Concentración inicial de B.

Es conveniente mencionar que la concentración de A respecto al tiempo será de a0 - y(t), y para B será de b0 - y(t), tal y como nos indica el enunciado, tomaremos el tiempo como mayor que 0: t>0.

Además, sabemos que para t = 0, la concentración de C será nula, por lo que: y(t = 0) = 0.

Con todo lo deducido anteriormente, llegamos a la conclusión que estamos ante un Problema de Valor Inicial (PVI) o de Cauchy:

                                       y'(t) = k1(a0 − y(t))(b0 − y(t)), siendo t>0 
                                                            y(0) = 0 

Ahora procederemos a ver si nuestro problema tiene solución única o no, a través del Teorema de existencia y Unicidad. Observamos que la función f(t,y) = y'(t) es continua en el intervalo (I = (0,∞) ∩ B(0,0),r>0), por lo que admite al menos una solución. Por otro lado, observamos la derivada parcial:

                                                           ∂f/∂y=k(2y-a-b) 

y vemos que no hay problemas de continuidad, porque la derivada parcial nos resulta un polinomio, así que podremos afirmar que tiene una única solución.

3 Resolución por el método de Euler

Ahora, resolveremos el problema de valor inicial con el método de Euler de primer orden (método explícito). Del enunciado, sabemos que f(t,y)=k₁(a₀-y(t))(b₀-y(t)) , por lo tanto aplicamos la fórmula del método de Euler:

y_n+1 = y_n + h * f(t_n, y_n)

Cuando despejamos, obtenemos : y_n+1 = y_n + h * k₁(a₀-y(t))(b₀-y(t))

Según los datos del enunciado, tenemos que:

·a₀=3[mol/L] · b₀=1[mol/L] · k₁=1[mol/s] · h=0.1(salto) · t=[0,2] (segundos)