Reacciones complejas GRUPO 1A

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Reacciones complejas grupo 1A
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2015-16
Autores	Pablo Medina Higueras 1326;Jesús Caballero Pozo 1392;Jaime Delage Ramírez 1425
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 ENUNCIADO

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,

                                                  A + B → C

Supondremos que se satisface la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. Se pide:

1. Comprobar que la concentración del producto C a lo largo del tiempo puede obtenerse a partir de la ecuación diferencial

                                 [math]y'(t)=k_{1}[/math]([math]a_{0}[/math] −[math]y(t)[/math])([math]b_{0}[/math] −[math]y(t)[/math]), [math]t \gt 0[/math],

para algunas constantes [math]a_{0}[/math], [math]b_{0}[/math] y [math]k_{1}[/math]. Interpretar dichas constantes y enunciar un problema de valor inicial adecuado para calular la concentración de C a lo largo del tiempo. ¿Tiene solución única?

2. ¿Cómo cambiaría la ecuación diferencial si el proceso fuera reversible?

3. Suponiendo [math]a_{0}[/math] = 3 mol/l, [math]b_{0}[/math] = 1 mol/l y [math]k_{1}[/math] = 1 mol/s resolver el PVI por el método de Euler, eligiendo un paso h = 0.1, en los primeros 2 segundos. Dibujar en una misma gráfica las concentraciones de los dos reactivos y el producto. Interpretar las gráficas.

4. Resolver numéricamente el sistema para un tiempo suficientemente grande como para establecer una aproximación de los límites de las concentraciones cuando t → ∞. ¿Es lógico lo que se observa?

5. Resolver el PVI numéricamente usando el método del Trapecio y el método de Runge-Kutta de cuarto orden con el mismo paso de tiempo.

6. Supongamos ahora que se produce una reacción consecutiva de la forma

                                    A + B →[math]k_{1}[/math] C →[math]k_{2}[/math] D 

Plantear ahora un sistema de dos ecuaciones diferenciales para las concentraciones de C y D, basado en la ley de acción de masas. Obtener el PVI asociado.

7. Si [math]k_{2}[/math] = 5, lo que supone que la segunda reacción es mucho más rápida que la primera, resolver numéricamente el problema en los primeros 10 segundos con los métodos de Euler y Runge-Kutta. Dibujar las gráficas de las concentraciones en una misma figura e interpretar los resultados. ¿Se puede usar el paso h = 0.3?

8. Si [math]k_{2}[/math] = 1/5, lo que supone que la segunda reacción es mucho más lenta que la primera, resolver numéricamente el problema en los primeros 10 segundos con los métodos de Euler y Runge-Kutta. Dibujar las gráficas de las concentraciones en una misma figura e interpretar los resultados.

2 Introducción

El objetivo de esta exposición se basa en el estudio de la ecuación diferencial de la velocidad de reacción entre dos sustancias químicas mediante el uso de distintos métodos numéricos. Como indica el enunciado, consideraremos una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Tal y como se indica inicialmente en el problema, supondremos un volumen y una temperatura constantes para la reacción. La reacción química con la que trabajaremos es la siguiente :

   A + B → C

Al inicio, se encuentran dos reactivos, A y B, que van formando un producto C en el que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B produce una de C. Otro dato también a suponer es que la reacción química satisface la ley de acción de masas, ley que establece la relación de proporcionalidad entre la velocidad de reacción y las concentraciones de los reactivos.