Campo de desplazamiento de una placa semicircular A4

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Consideramos una placa plana que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2 en el semiplano y>=0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u\) producidos por la acción de una fuerza determinada. A partir de esto, estudiaremos el efecto de la temperatura dada por \(T(x,y)\) para después plantear la acción de las vibraciones \(\vec u(\rho,\theta)\) y las tensiones que éstas producen.

1 Visualización de la placa

La placa es un semianillo comprendido entre los radios 1 y 2.

Visualización de la placa
h= 0.1;                           %paso de muestreo
                                  %usamos coordenadas polares
r= 1:h:2;
tetha= 0:h:pi;
[rr,tt]= meshgrid(r,tetha);       %mallado
                                  %parametrizamos en cartesianas
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
clf                               %borramos las posibles gráficas que haya hasta ahora           
mesh(x,y,0*x)                     %hacemos la visualización de la placa
view(2)                           %vemos la placa en 2D
axis ([-3,3,-1,3])


2 Distribución de temperaturas del sólido

La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar: 

                                            \(T(x,y)=log({y+2})\)


Distribución de temperaturas
h= 0.1;                           %paso de muestreo
                                  %usamos coordenadas polares
r= 1:h:2;
tetha= 0:h:pi;
[rr,tt]= meshgrid(r,tetha);       %mallado
                                  %parametrizamos en cartesianas
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
clf 
                                  %campo temeperatura (en cartesianas)
T=log(y+2);                       %campo escalar de temperatura
subplot(1,2,1)                    %Dividimos la pantalla en dos
surf(x,y,T)                       %representamos el campo escalar de temperaturas
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
colorbar                          %mostramos la escala
subplot(1,2,2)                    %escribimos en la segunda pantalla
contour(x,y,T,40)                 %lineas de nivel
colorbar                          % mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])

Según podemos observar en el gráfico obtenido, el campo de temperaturas aumenta en dirección de y, y es máximo en el punto y=2

3 Estudio del gradiente de temperaturas

Al calcular el gradiente de nuestro campo de temperaturas obtenemos el siguiente campo vectorial:

                                                grad T = \(1./(y+2)\vec j\)

Este campo indica la dirección en la cual la temperatura del sólido aumenta a mayor velocidad, y su módulo nos indica dicha velocidad.

Gradiente de temperatura
h= 0.1;                          %paso de muestreo
                                 %usamos coordenadas polares
r= 1:h:2;
tetha= 0:h:pi;
[rr,tt]= meshgrid(r,tetha);      %mallado
                                 %parametrizamos en cartesianas
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);


                                 % lineas nivel campo temeperatura (en cartesianas)
T=log(y+2);                      %campo escalar de temperatura
subplot(1,2,1)                   %dividimos la pantalla en dos
contour(x,y,T,40)                %lineas de nivel
colorbar                         % mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])


                                 %gradiente temperatura (en cartesianas)
tx=inline('0','x','y');          %derivada parcial respecto de x
ty=inline('1./(y+2)','x','y');   %derivada parcial respecto de y
TX=tx(x,y);
TY=ty(x,y);
subplot(1,2,2)
h= quiver(x,y,TX,TY);            %representamos el campo vectorial
axis ([-3,3,-1,3])
set(h,'maxheadsize',0.33)        %cambiamos formato flechas


4 Campo vectorial en los puntos del sólido

A continuación vamos a observar la deformación de la placa producida por el siguiente campo de desplazamientos:

                                         \(\vec u(\rho,\theta)=1/5*sin(2θ)\vec g_{\theta}\)
Visualización del campo vectorial sobre el semianillo
h= 0.1; %paso de muestreo
                                  %usamos coordenadas polares
r= 1:h:2;
theta= 0:h:pi;
[rr,tt]= meshgrid(r,theta);       %mallado
                                  %parametrizamos en cartesianas
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
clf                               %Borramos las posibles gráficas anteriores
u=inline('-y/5.*sin(2.*atan(y./x))','x','y');
v=inline('x/5.*sin(2.*atan(y./x))','x','y');
U=u(x,y);
V=v(x,y);
quiver(x,y,U,V)                   %Hacemos la gráfica del gradiente
axis ([-3,3,-1,3])                %Ajustamos los ejes


Lo que hace el campo desplazamiento es principalmente coger los puntos que están a la mitad de altura, y llevarlos hacia la parte superior del semianillo

5 Efecto de los desplazamientos

En este apartado vamos a comparar los puntos de la placa antes y después de los desplazamientos para observar los efectos de estos.

Comparación de las gráficas
h= 0.1;                           %paso de muestreo
                                  %usamos coordenadas polares
r= 1:h:2;
tetha= 0:h:pi;
[rr,tt]= meshgrid(r,tetha);       %mallado
                                  %parametrizamos en cartesianas
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
clf
subplot(1,2,1)                    %sólido antes de los desplazamientos
mesh(x,y,0*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])

subplot(1,2,2)                    %sólido después de los desplazamientos
u=inline('-y/5.*sin(2.*atan(y./x))','x','y');
v=inline('x/5.*sin(2.*atan(y./x))','x','y');
U=u(x,y);
V=v(x,y);
X=x+U;
Y=y+V;
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])

Vemos como los puntos de los extremos están más separados y que los del centro están más juntos

6 Estudio de la divergencia

Aquí estudiaremos las modificaciones de volumen local producidas por el campo de desplazamientos.

El campo es:

                                         \(\vec u(\rho,\theta)=1/5*sin(2*theta)\vec g_{\theta}\)

Como lo tenemos en cilindricas hacemos la divergencia en cilindricas y luego pasamos a cartesianas para poder representarlo con matlab.

Divergencia en la placa
h= 0.1;                           %paso de muestreo
                                  %usamos coordenadas polares
r= 1:h:2;
tetha= 0:h:pi;
[rr,tt]= meshgrid(r,tetha);       %mallado
                                  %parametrizamos en cartesianas
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
clf

%Divergencia en cilíndricas= 2/5*cos(2*tetha)
%pasamos a cartesianas: Divergencia en cartesianas= 2/5*cos(2*atan(y/x))

div=inline('2.*cos(2.*atan(y./x))./5','x','y');
DIV=div(x,y);
surf(x,y,DIV)
colorbar
axis ([-3,3,-1,3])
view(3)


La divergencia es mayor en los extremos del semianillo. Según se observa en la gráfica, el valor de dicha divergencia en estos puntos es 0.4 (se ve en color rojo y más alto). No se aprecia mucho el cambio de volumen porque el campo no se caracteriza por estar expandiendose, si no por su rotación. El campo tiende a comprimir los puntos en el medio del anillo

7 Estudio del rotacional

El rotacional de un campo nos muestra como gira la superficie al aplicarle el campo u. En este apartado vamos a estudiar el giro del campo:

                                         \(\vec u(\rho,\theta)=1/5*sin(2θ)\vec g_{\theta}\)

Al igual que en la divergencia, como el campo dado está en coordenadas cilíndricas, operaremos así y luego las pasaremos a cartesianas para hacer la gráfica en matlab.

Rotacional del campo vectorial en 2D Y 3D.
h= 0.1;                     %paso de muestreo
                            %usamos coordenadas polares
r= 1:h:2;
tetha= 0:h:pi;
[rr,tt]= meshgrid(r,tetha); %mallado
                            %parametrizamos en cartesianas
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
                            %Dibujo
subplot(1,2,1);
rot=2/5*sin(2*tt);
surf(x,y,rot)
axis equal
view(2)                     %rotacional 2D
colorbar
subplot(1,2,2);
surf(x,y,rot)               %rotacional 3D
colorbar
Maximo=max(max(rot))

Cómo vemos en la gráfica, el rotacional es máximo para los puntos con theta=pi/4

8 Tensiones normales

Si consideramos que estamos en un medio elástico lineal, isótropo y homogéneo, podemos definir el tensor de tensiones σ como: 

                                            σ(x,y)=λ∇.u.1 + 2με

siendo λ y μ los coeficientes de Lamé, que dependen de cada material. En nuestro caso λ y μ son iguales a 1. Además, ε es la parte simétrica del vector gradiente u, es decir, (∇u + ∇ut)/2.

Matriz de σ

Aunque los desplazamientos se realizan en el plano, las tensiones no tienen por qué ser planas, y se puede representar las tensiones en las tres direcciones del espacio. En nuestro caso, como estamos usando coordenadas cilíndricas, representamos las tensiones en las direcciones de la base ortogonal cilíndrica {g sub ρ, g sub θ, g sub z}. Para ello, multiplicamos escalarmente la matriz sigma por el vector g sub i por ambos lados: tensión normales en dirección i= g sub i * σ * g sub i

a) dirección \(\vec g_{\rho}\): (1,0,0)*σ*(1,0,0) = 2/5*cos(2θ)

b) dirección \(\vec g_{\theta}\)/ρ: (0,1,0)*σ*(0,1,0) = 2/5*cos(2θ)*(1+2/ρ^2)

c) dirección \(\vec g_{\z}\): (0,0,1)*σ*(0,0,1) = 2/5*cos(2θ)


Representamos en 2D, y en 3D para mejor comprensión del efecto de las tensiones.


Tensiones en 2D

2D 

h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); 
clf
subplot(1,3,1);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=2/5.*cos(2*tt); %elemento (1,1) de la matriz sigma
b=a.*(1+2./rr.^2);
surf(xx,yy,a)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,2);   %elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
axis equal
view(2)
colorbar
subplot(1,3,3)
c=a;            %elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,c)
axis equal
view(2)
colorbar


Tensiones en 3D
3D
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); 
clf
subplot(1,3,1);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=2/5.*cos(2*tt); %elemento (1,1) de la matriz sigma
b=a.*(1+2./rr.^2);
surf(xx,yy,a)
colorbar
subplot(1,3,2);   %elemento (2,2) de la matriz sigma
surf(xx,yy,b)
colorbar
subplot(1,3,3)
c=a;            %elemento (3,3) de la matriz sigma
surf(xx,yy,c)
colorbar


9 Tensiones tangenciales

Tensiones tangenciales

Respecto al plano ortogonal a \(\vec g_{\rho}\) 

h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=1./rr.*(1/5.*sin(2*tt)-1);
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,a)
colorbar
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,a)
colorbar
view(2)


Tensiones tangenciales

Plano ortogonal a \(\vec g_{\theta}/ρ\) 

h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:pi;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
a=1./rr.*(1/5.*sin(2*tt)-1);
subplot(2,1,1)
surf(xx,yy,a)
colorbar
subplot(2,1,2)
surf(xx,yy,a)
colorbar
view(2)


10 Tensión de Von Mises

La tensión de Von Mises se define como:

siendo

Von Mises
h=0.1;
r=[1:h:2];
t=[0:h:pi];
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
%creación de la matriz sigma
s=zeros(3,3);
%creamos la matriz de von mises 
vm=zeros(32,11); %tiene un tamaño 32x11 porque es el tamaño del mallado
for i=1:32*11
    rrr=rr(i)';
    ttt=tt(i)';
    s(1,1)=(2/5).*cos(2.*ttt);
    s(1,2)=(1./rrr).*(0.2.*sin(2*ttt)-1);
    s(2,1)=s(1,2);
    s(2,2)=s(1,1)+0.8.*cos((2*ttt)./(rrr.^2));
    s(3,3)=s(1,1);
    [v,d]=eig(s); %autovalores de la matriz sigma
    vm(i)=sqrt(((d(1,1)-d(2,2))^2+(d(2,2)-d(3,3))^2+(d(3,3)-d(1,1))^2)/2);  %fórmula de Von Mises
end
%cambiamos a cartesianas
xx=rr.*cos(tt);
yy=rr.*sin(tt);
surf(xx,yy,vm)
colorbar
view(2)


11 Masa total de la placa

función de densidad = \log{({x^2+y^2+2})\


Hecho a partir de la función del trapecio de integración numérica 

function I=integralTrap(f,a,b,m)
h=(b-a)/m;
x=linspace(a,b,m+1);
I=0;
for i=1:m
A=(feval(f,x(i))+feval(f,x(i+1)))*h/2;
I=I+A;
end

Resolución 

f=inline('r*log(r^2+2)','r')
masa=pi.*integralTrap(f,1,2,100)

Que da un resultado de: masa=6.9975

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