Campo de desplazamiento de una placa semicircular A4

Consideramos una placa plana que ocupa el anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 1 y 2 en el semiplano y>=0. En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura \(T(x,y)\), que depende de las dos variables espaciales \((x,y)\), y los desplazamientos \(\vec u\) producidos por la acción de una fuerza determinada. A partir de esto, estudiaremos el efecto de la temperatura dada por \(T(x,y)\) para después plantear la acción de las vibraciones \(\vec u(\rho,\theta)\) y las tensiones que éstas producen.

1 Visualización de la placa

h= 0.1;                           %paso de muestreo
%usamos coordenadas polares
r= 1:h:2;
tetha= 0:h:pi;
[rr,tt]= meshgrid(r,tetha);       %mallado
%parametrizamos en cartesianas
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
clf                               %borramos las posibles gráficas que haya hasta ahora
subplot(1,3,1)                    %hacemos la visualización de la placa
mesh(x,y,0*x)
view(2)                           %vemos la placa en 2D
axis ([-3,3,-1,3])

2 Distribución de temperaturas del sólido

La distribución de temperaturas en cada punto del sólido viene dada por el campo escalar:

                                            \(T(x,y)=log{y+2}\)

Esta variación de temperaturas vendrá representada por curvas de nivel formadas por puntos que se encuentran a una misma temperatura. Considerando como foco de calor el origen de coordenadas y siendo nuestra distribución de temperaturas independiente de \(x\); observamos gráficamente que, cuanto mayor sea \(y\), menor será la temperatura.

%campo temeperatura (en cartesianas)
T=log(y+2);                                %campo escalar de temperatura
%T=log(rr.*sin(tt)+2);
subplot(1,3,2)
surf(x,y,T)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
colorbar                                   %mostramos la escala
subplot(1,3,3)                             %dividimos la pantalla en dos
contour(x,y,T,40)                          %lineas de nivel
colorbar                                   % mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
%VIENDO EL GRAFICO Y LA ESCALA, VEMOS QUE EL CAMPO DE TEMPERATURAS
%AUMENTA EN LA DIRECCION DE Y, LUEGO EL CAMPO ES MAXIMO EN Y=2

3 Estudio del gradiente de temperaturas \(\nabla T\)

h= 0.1;                          %paso de muestreo
%usamos coordenadas polares
r= 1:h:2;
tetha= 0:h:pi;
[rr,tt]= meshgrid(r,tetha);      %mallado
%parametrizamos en cartesianas
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)

% lineas nivel campo temeperatura (en cartesianas)
T=log(y+2);                      %campo escalar de temperatura
subplot(1,2,1)                   %dividimos la pantalla en dos
contour(x,y,T,40)                %lineas de nivel
colorbar                         % mostramos las escala
axis ([-3,3,-1,3])
%VIENDO EL GRAFICO Y LA ESCALA, VEMOS QUE EL CAMPO DE TEMPERATURAS
%AUMENTA EN LA DIRECCION DE Y, LUEGO EL CAMPO ES MAXIMO EN Y=2

%gradiente temperatura (en cartesianas)
tx=inline('0','x','y');          %derivada parcial respecto de x
ty=inline('1./(y+2)','x','y');   %derivada parcial respecto de y
TX=tx(x,y);
TY=ty(x,y);
subplot(1,2,2)
h= quiver(x,y,TX,TY);
axis ([-3,3,-1,3])
set(h,'maxheadsize',0.33)

4 Efectos del campo vectorial \(\vec u\) sobre la placa

h= 0.1; %paso de muestreo
%usamos coordenadas polares
r= 1:h:2;
tetha= 0:h:pi;
[rr,tt]= meshgrid(r,tetha); %mallado
%parametrizamos en cartesianas
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
clf
u=inline('-y/5.*sin(2.*atan(y./x))','x','y');
v=inline('x/5.*sin(2.*atan(y./x))','x','y');
U=u(x,y);
V=v(x,y);
quiver(x,y,U,V)
axis ([-3,3,-1,3])
%Lo que hace el campo desplazamiento es principalmente coger los puntos
% que estan a la mitad de altura, y llevarlos hacia el centro del circulo

4.1 Campo vectorial de desplazamientos

h= 0.1; %paso de muestreo
%usamos coordenadas polares
r= 1:h:2;
tetha= 0:h:pi;
[rr,tt]= meshgrid(r,tetha); %mallado
%parametrizamos en cartesianas
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
clf
subplot(1,2,1)
mesh(x,y,0*x)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])

subplot(1,2,2)
u=inline('-y/5.*sin(2.*atan(y./x))','x','y');
v=inline('x/5.*sin(2.*atan(y./x))','x','y');
U=u(x,y);
V=v(x,y);
X=x+U;
Y=y+V;
mesh(X,Y,0*X)
view(2)
axis ([-3,3,-1,3])
%Vemos como los puntos de los extremos están más separados, 
%y que los del centro están más juntos