Movimiento de un sistema de partículas (Grupo G9)

1 Visualización de un sistema de partículas

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso, tenemos 21 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (x_i ,y_i ,z_i) = (sin(π(i − 1)/10,cos(π(i − 1)/4), cos(π(i −1)/10), i = 1, 2, ..., 21 respecto a la base ortonormal {e₁,e₂,e₃}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

t = (1:1:21);
for i = 1: length(t)
   x(i) = sin(pi*(t(i)-1)/10);
   y(i) = cos(pi*(t(i)-1)/4);
   z(i) = cos(pi*(t(i)-1)/10);
end
hold on
plot3(x,y,z,'-x')
axis equal 
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold off

2 Centro de masas de un sistema de particulas

2.1 Formula del centro de masas

En nuestro caso tenemos 21 particulas y cada particula tiene la misma masa mi=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas : (∑_iⁿr_imasa_i)/M donde Mtotal es la masa total (21×10=210),"masa" la masa de cada particula y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. La funcion que usaremos es la siguiente;

masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
   X(1,i) = masa*x(i);
   Y(1,i) = masa*y(i);
   Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y);
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal);   
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

2.2 Visualicacion del centro de masas

A continuación mostraremos un grafico con la curva y su centro de masas:

%Representacion de la curva
t = (1:1:21);
for i = 1: length(t)
   x(i) = (sin(pi*(t(i)-1)/10));
   y(i) = (cos (pi*(t(i)-1)/4));
   z(i) = cos(pi*(t(i)-1)/10);
end
figure(1)
plot3(x,y,z,'-x')
axis equal 
axis ([-2,2,-2,2,-2,2])
hold on

%Representación del centro de masas
masa = 10;
Mtotal = 21*masa;
X = zeros(1,21);
Y = zeros(1,21);
Z = zeros(1,21);

for i = 1:21
   X(1,i) = masa*x(i);
   Y(1,i) = masa*y(i);
   Z(1,i) = masa*z(i);
end
X = sum(X);
Y = sum(Y);
Z = sum(Z);

XG = (X/Mtotal);   
YG = (Y/Mtotal);
ZG = (Z/Mtotal);

plot3(XG,YG,ZG,'.g','linewidth',5)
hold off
figure(2)

3 Rotacion de un sistema de particulas

3.1 Matriz de componentes de una Rotación

En primer lugar, vamos a calcular analíticamente la matriz de componentes de una rotación. La fórmula de una rotación es:

donde w es el vector unitario:

Refiriéndonos a la base ortonormal {e₁,e₂,e₃}, podemos expresar la rotación como:

Por lo que la matriz de componentes es:

3.2 Matriz Rotacion con eje ω=e₃ y angulo θ= π/16

Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e₃ y angulo θ= π/16. Para conseguir esta matriz hemos usado el siguiente codigo:

We3= [0,0,1];
mod = sqrt(sum(We3.^2));
We3 = We3./mod;
theta = pi/16;
matriz1 = eye(3);
matriz2 = zeros(3,3);
matriz3 = zeros(3,3);

for i = 1:3
   matriz2 (1,i) = (We3(1).*We3(i));
   matriz2 (2,i) = (We3(2).*We3(i));
   matriz2 (3,i) = (We3(3).*We3(i));
end

matriz3(1,1) = 0;
matriz3(1,2) = (-1*We3(3));   
matriz3(1,3) = (We3(2));
matriz3(2,1) = (We3(3));
matriz3(2,2) = 0;
matriz3(2,3) = (-1*We3(1));
matriz3(3,1) = (-1*We3(2));
matriz3(3,2) = (We3(1));
matriz3(3,3) = 0;
%construimos la matriz de rotacion

rot3 = zeros(3,3);
matrizaux1 = (cos(theta)*matriz1);
matrizaux2 = ((1-cos(theta)*matriz2));
matrizaux3 = (sin(theta)*matriz3);
rot3 = matrizaux1+matrizaux2+matrizaux3;