Trabajo Ecuaciones 4

1 Apartado 1

1. Interpretar los diferentes parámetros en la ecuación de acuerdo a las hipótesis:

Parámetro	Descripción
S	Población susceptible a contraer la enfermedad
I	Población infectada por la enfermedad
a	Es una constante que hace referencia al factor de proporcionalidad,no sabemos de qué depende pero afecta a la interacción de los individuos de ambas clases
b,c	Podrían ser el tanto por ciento de fallecimientos y curas.Por lo tanto sólo pueden afectar a los infectados

La variación de susceptibles toma un valor negativo porque está en función del tiempo, es decir, a medida que pasa el tiempo el número de susceptibles es menor, mientras que aumenta el número de infectados.

[math] dS/dt = -aSI [/math]

Sin embargo la variación de infectados será el número de susceptibles que han pasado a infectados (aSI) menos el número de individuos que han sido curados o han muerto (-bI-cI)

[math] dI/dt = aSI - bI - cI [/math]

2 Apartado 2

2. Tomar : a=0.003, b=0.3 y c=0.2. Usar el método de EULER para resolver el sistema con los datos finales (S0,I0)=(700,1) y (S0,I0)=(5000,5) y el tiempo tϵ[0,30] días. Tomar como paso de discretización temporal h=10-1, h=10-2, h=10-3, h=10-4.

t0=0; tN=30;
a=0.003; b=0.3;
c=0.2;
y0=[700;1];
h=10^-1;
N=(tN-t0)/h;
y=y0; y1(1)=y(1);
y2(1)=y(2);
    for n=1:N
       y1(n+1)=y1(n)-h*a*y1(n)*y2(n);
       y2(n+1)=y2(n)+h*a*y1(n)*y2(n)-h*b*y2(n)-h*c*y2(n);
    end
x=t0:h:tN;
plot(x,y1,'x r');
hold on;
plot(x,y2,'x g');

%% Graficas

t0=0; tN=30;
a=0.003; b=0.3;
c=0.2;
y0=[5000;5];
h=10^-1;
N=(tN-t0)/h;
y=y0; y1(1)=y(1);
y2(1)=y(2);
    for n=1:N
        y1(n+1)=y1(n)-h*a*y1(n)*y2(n);
        y2(n+1)=y2(n)+h*a*y1(n)*y2(n)-h*b*y2(n)-h*c*y2(n);
    end
x=t0:h:tN;
plot(x,y1,'x r');
hold on;
plot(x,y2,'x g');

%% Graficas

3 Apartado 3

3. Elegir otro datos iniciales (S0,I0) e interpretar los resultados

(So,Io)=(5,5000)

%% Graficas

Como en los anteriores casos hemos usado valores de individuos susceptibles mucho mayores que valores de individuos infectados (5000,5), implica que todavía quedan muchos individuos que pueden infectarse y por ello vemos como la función crece. Nuestro trabajo propone la alternativa inversa; que el número de infectados sea mucho mayor que el numero de susceptibles (5,5000), que quiere decir que la mayoría de los individuos están infectados y los susceptibles a infectarse son despreciables frente a la función.

Por ejemplo: si tenemos un 95% de infectados como máximo la variación de los nuevos infectados va a ser de un 5%, por lo tanto una variación muy pequeña, y en el caso opuesto la variación podría ser de hasta un 95%.

4 Apartado 4

4. Usar el método de RUNGE-KUTTA de cuarto orden para resolver la ecuación. Comparar con el método de EULER para diferentes tiempos. ¿Qué dificultad hay en el uso de un método implícito como el método trapezoidal?

t0=0;tN=30;
a=0.003;b=0.3;c=0.2;
y0=[700;1];
h=10^-1;N=(tN-t0)/h;
y=y0; 
y1(1)=y(1);y2(1)=y(2);
     for n=1:N
        k1(n)=-a*(y1(n)*y2(n));
        q1(n)= a*(y1(n)*y2(n))+(-b-c)*y2(n);
        k2(n)=-a*(y1(n)+(h/2)*k1(n))*(y2(n)+(h/2)*k1(n));
        q2(n)=a*(y1(n)+(h/2)*q1(n))*(y2(n)+(h/2)*q1(n))+((-b-c)*(y2(n)+(h/2)*q1(n)));
        k3(n)=-a*(y1(n)+(h/2)*k2(n))*(y2(n)+(h/2)*k2(n));
        q3(n)=a*(y1(n)+(h/2)*q2(n))*(y2(n)+(h/2)*q2(n))+((-b-c)*(y2(n)+(h/2)*q2(n)));
        k4(n)=-a*(y1(n)+h*k3(n))*(y2(n)+h*k3(n));
        q4(n)=a*(y1(n)+h*q3(n))*(y2(n)+h*q3(n))+((-b-c)*(y2(n)+h*q3(n)));
        y1(n+1)=y1(n)+(h/6)*(k1(n)+(2*k2(n))+(2*k3(n))+k4(n));
        y2(n+1)= y2(n)+(h/6)*(q1(n)+(2*q2(n))+(2*q3(n))+q4(n));
     end
x=t0:h:tN;
plot(x,y1,'x r');
hold on; 
plot(x,y2,'x g');

%% Graficas

Comparar con el método de EULER para diferentes tiempos.

%% Graficas %% Falta algo

Ambos métodos explícitos de aproximación son viables para calcular este sistema, aunque sabemos que el método de RUNGE-KUTTA es más preciso que el de EULER al ser de cuarto orden, porque tomamos más valores que nos aproximan a la función.

¿Qué dificultad hay en el uso de un método implícito como el método trapezoidal?

Cuando es un método implícito hay que despejar manualmente el sistema de ecuaciones y tener en cuenta la dependencia de las funciones.

5 Apartado 5

5. Si después de 15 días de detectar la infección el número de infectados es de 300 en una población susceptible de 20.000. ¿Cuántos infectados había en el momento de detectar la enfermedad?

%% Revisar

t0=15; tN=0;
a=0.003; b=0.3; c=0.2;
y0=[20000;300];
h=10^-2; N=(t0-tN)/h;
y=y0; y1(1)=y(1); y2(1)=y(2);
    for n=1:N
       y1(n+1)=y1(n)-h*a*y1(n)*y2(n);

       y2(n+1)=y2(n)+h*a*y1(n)*y2(n)-h*b*y2(n)-h*c*y2(n);
    end
x=t0:-h:tN;
plot(x,y1,'x r');
hold on;
plot(x,y2,'x g');