Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El presente trabajo trata de estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de una viga de 10 metros de longitud y sección rectangular, al someterla a la acción de diferentes esfuerzos y variar las dimensiones de su sección transversal, así como se estudiará la respuesta de esta misma viga al cambiar sus condiciones de apoyo.

Sección transversal de la viga

centro

Supondremos que la viga ocupa el intervalo x∈[0,L] y denotamos el desplazamiento vertical de su eje por y(x). Para desplazamientos pequeños, y(x) satisface la ecuación de la curva elástica que proviene del equilibrio de momentos:

[math]y'''=\frac{M(x)}{E I(x)}[/math]

donde E es el módulo de elasticidad lineal (o módulo de Young) que depende de las propiedades elásticas del material, y que supondremos constante, mientras que I(x) es el momento de inercia de la sección transversal respecto al centro. La función M(x) se conoce como momento flector y representa el momento de las fuerzas aplicadas sobre la viga.

2 Viga biapoyada sometida a la acción de momentos flectores

En este apartado se estudiará una viga biapoyada de la que en cada caso conoceremos distintos datos.

centro

2.1 [math] \ E=5x10^4 ; a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)=L/2−|x−L/2|\ [/math]

Sabiendo que [math] \ E=5x10^4 , a=0.6 , b=0.3 , M(x)=L/2−|x−L/2|\ [/math], plantaremos un problema de contorno, con objeto de conocer la deformada de la viga al serle aplicado este momento flector.Una vez calculada la deformada estudiaremos sus puntos y encontraremos el de mayor deflexión (mayor y). Para realizar estos cálculos empleamos el siguiente código de matlab.

% datos
L=10;               % longitud de la viga
E=5e4;              % módulo de Young
a=0.5;              % alto sección 
b=0.3;              % ancho sección 
I=(1/12)*b*a^3;     % inercia
 
%discretización 
x0=0;
xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xi=(x0+h):h:(xN-h);
% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);
f=(M/(E*I))';       % vector columna
f(1)=f(1)-y0/(h^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);
% matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/h^2)*KK;  
 
%solución
y=K\f;
 
%valores del contorno
y=[y0;y;yL];            
 
%deflexión máxima
fmax=min(y)
 
% dibujamos
plot(x,y)

A continuación se muestra la gráfica que representa la ley de deflexiones de la viga

Ley de deflexiones de la viga

El valor de la deflexión máxima es 0.2669 que como podemos observar en la gráfica, se produce en el centro de vano.

2.2 [math] \ E=5x10^4 ; a∈[0,1;0,9] ; b=1−a ; V_(viga)=cte \ [/math]

En esta ocasión, nuestra viga tendrá canto y ancho variable a lo largo de su longitud. Sabiendo que el volumen de esta permanecerá constante con respecto al caso anterior [math] \ (a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)= L/2−|x−L/2|)\ [/math],procederemos a calcular la ley de deformadas de esta nueva viga. Para realizar estos cálculos volveremos a utilizar matlab.

% datos 
L=10;        % longitud viga
E=5e4;       % módulo de Young
y0=0;
yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);

% discretización        
x0=0;xN=L;
N=50;
h=(xN-x0)/N;
x=x0:h:xN;
xi=(x0+h):h:(xN-h);
% matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/h^2)*KK;
n=0;
fmax=zeros(1,9);
for a=0.1:0.1:0.9      % alto sección
    n=n+1;
    b=1-a;              % ancho sección
    I=(1/12)*b*a^3;     % inercia
    % f(x)
    f=(M/(E*I))';       % vector columna
    f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
    f(N-1)=f(N-1)-yL/(h^2);
    
    %solución
    y=K\f;
    %valores del contorno
    y=[y0;y;yL];            
    fmax(n)=min(y);
    
   
    % dibujamos
    figure(1)
    hold on
    plot(x,y)
end
 fmax(n)=min(y)
hold off
figure(2)
plot(0.1:0.1:0.9,fmax,'-g')

De esta forma obtenemos que la menor deflexión máxima, con un valor de 0.0973, se produce cuando la sección tiene un canto de 0.7 y un ancho de 0.3

A continuación se muestran las gráficas que representan las deflexiones sufridas por cada sección de la viga y el gráfico que representa las máximas deflexiones para cada canto en esta misma viga.

Ley de deflexiones en cada sección

centro

3 Viga biempotrada sometida a la acción de una carga

centro

En el presente apartado se realizará un estudio homólogo al del apartado anterior con la diferencia de que en este caso en lugar de estar los extremos apoyados, estarán encastrados. La sección transversal tendrá el mismo valor para el canto y el ancho, es decir, nos encontramos ante una sección cuadrada con a=b=0.5. Con respecto a la acción que actúa sobre la viga nos encontramos ante otra diferencia con los casos anteriores: en esta ocasión en lugar de actuar momentos flectores actúa una carga de valor [math] \ w(x)= L/2−|x−L/2| \ [/math]. Para resolver este problema deberemos resolver la siguiente ecuación:

[math]y''''=\frac{-w(x)}{E I(x)}[/math]

Esta ecuación resulta ser de orden cuatro por lo que necesitaremos cuatro condiciones de contorno, que sacaremos de las condiciones de sustentación de la viga (empotramientos en los dos extremos). Las condiciones de contorno que resultan son las siguientes: \[\left\{\begin{matrix} y(0)=0 \ & \\ y'(0)=0\ \end{matrix}\right.\] \[\left\{\begin{matrix} y(L)=0\ & \\ y'(L)=0\ \end{matrix}\right.\] Para resolver el problema de contorno que tenemos planteado será necesario que planteemos el método de diferencias finitas, nos ayudará a calcular la solución mediante una aproximación. Utilizaremos las siguientes aproximaciones:

[math] y''''(x_j)=\frac{y(x_j-2)-4y(x_j-1)+6y(x_j)-4y(x_j+1)+y(x_j+2)}{h^4}+\theta(h^2)[/math]

[math] y'(x_0)=\frac{y(x_1)-y(x_-1)}{2h}+\theta(h^2)[/math]

[math] y'(x_N)=\frac{y(x_N+1)-y(x_N-1)}{2h}+\theta(h^2)[/math]