Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A) |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de una viga biapoyada de 10 metros de longitud y sección rectangular, al someterla a la acción de diferentes momentos flectores y variar las dimensiones de su sección transversal.
Supondremos que la viga ocupa el intervalo x∈[0,L] y denotamos el desplazamiento vertical de su eje por y(x). Para desplazamientos pequeños, y(x) satisface la ecuación de la curva elástica que proviene del equilibrio de momentos:
y=M(x)/EI(x)
donde E es el módulo de elasticidad lineal (o módulo de Young) que depende de las propiedades elásticas del material, y que supondremos constante, mientras que I(x) es el momento de inercia de la sección transversal respecto al centro. La función M(x) se conoce como momento flector y representa el momento de las fuerzas aplicadas sobre la viga.
2 E=5x10^4 ; a=0.6 ; b=0.3 ; M(x)= L/2−|x−L/2|
Sabiendo que E=5x10^4,a=0.6,b=0.3,M(x)= L/2−|x−L/2|, plantaremos un problema de contorno, con objeto de conocer la deformada de la viga al serle aplicado este momento flector.Una vez calculada la deformada estudiaremos sus puntos y encontraremos el de mayor deflexión (mayor y). Para realizar estos cálculos empleamos el siguiente código de matlab.
% datos
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.5; % alto sección
b=0.3; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia
%discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);
% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);
f=(M/(E*I))'; % vector columna
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);
% matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*KK;
%solución
y=K\f;
%valores del contorno
y=[y0;y;yL];
%deflexión máxima
fmax=-max(abs(y))
% dibujamos
plot(x,y)
A continuación se muestra la gráfica que representa la ley de deformadas de la viga
El valor de la deflexión máxima es 0.2669 que como podemos observar en la gráfica, se produce en el centro de vano.
3 E=5x10^4 ; a∈[0,1;0,9] ; b=1−a ; Vviga=cte
En esta ocasión, nuestra viga tendrá canto y ancho variable a lo largo de su longitud. Sabiendo que el volumen de esta permanecerá igual en el el caso anterior
