Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Ecuación de vigas: Modelo de Euler-Bernoulli (13A) |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores | María Aguilera, Paula Martínez, Miguel Sánchez, Laura García, Isabel Roselló, Sarah Boufounas |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
1 Introducción
Este trabajo consiste en estudiar, mediante un modelo matématico, el comportamiento de una viga biapoyada de 10 metros de longitud y sección rectangular, al someterla a la acción de diferentes momentos flectores y variar las dimensiones de su sección transversal.
Supondremos que la viga ocupa el intervalo x∈[0,L] y denotamos el desplazamiento vertical de su eje por y(x). Para desplazamientos pequeños, y(x) satisface la ecuación de la curva elástica que proviene del equilibrio de momentos:
y=M(x)/EI(x)
donde E es el módulo de elasticidad lineal (o módulo de Young) que depende de las propiedades elásticas del material, y que supondremos constante, mientras que I(x) es el momento de inercia de la sección transversal respecto al centro. La función M(x) se conoce como momento flector y representa el momento de las fuerzas aplicadas sobre la viga.
2 E=5x10^4;a=0.6;b=0.3
Sabiendo que E=5x10^4,a=0.6,b=0.3,M(x)= L/2−|x−L/2|, plantaremos un problema de contorno, con objeto de conocer la deformada de la viga al serle aplicado este momento flector.Una vez calculada la deformada estudiaremos sus puntos y encontraremos el de mayor deflexión (mayor y).
% datos
L=10; % longitud de la viga
E=5e4; % módulo de Young
a=0.5; % alto sección
b=0.3; % ancho sección
I=(1/12)*b*a^3; % inercia
%discretización
x0=0;
xN=L;
N=50;
dx=(xN-x0)/N;
x=x0:dx:xN;
xi=(x0+dx):dx:(xN-dx);
% f(x)
y0=0;yL=0;
M=L/2-abs(xi-L/2);
f=(M/(E*I))'; % vector columna
f(1)=f(1)-y0/(dx^2);
f(N-1)=f(N-1)-yL/(dx^2);
% matriz K
KK=-2*diag(ones(1,N-1))+diag(ones(1,N-2),1)+diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*KK;
%solución
y=K\f;
%valores del contorno
y=[y0;y;yL];
%deflexión máxima
fmax=-max(abs(y))
% dibujamos
plot(x,y)
