Aproximación de problemas de control.Derivadas topológicas para la resolución problemas inversos: Resolución actividad propuesta
Contenido
1 Introducción
1.1 General
Un problema inverso es aquel en el que a partir de ciertas mediciones o valores observados se debe deducir alguno o varios de los parámetros del sistema.
En este ejercicio, vamos a hacer énfasis en aquel problema inverso en el cual el parámetro que se pretende estimar son los defectos de un medio. Concretamente, se trataría de un problema de dispersión, en el cual se hace incidir una onda [math]u_{inc}[/math] en el seno de un medio [math]R[/math] contra unos defectos [math]\Omega[/math]. Dado que las propiedades del medio difieren en el defecto, el dominio [math]\Omega[/math] puede ser estimado.
El objetivo en este problema inverso concreto, es, a partir de las mediciones [math]u_{meas}[/math] tomados en una serie de receptores [math]\Gamma[/math] encontrar los objetos [math]\Omega[/math] tales que la diferencia [math]|u-u_{meas}|[/math] sea mínima.
Se debe subrayar que a pesar de su enorme interés, se trata de un problema mal planteado que puede no tener solución, y si la tiene puede no depender continuamente de los datos.
Este problema tiene numerosas aplicaciones, entre las que destacan aquellas en campos de tanto interés como puedan ser la medicina, la geología o el análisis de estructuras.
1.2 Problema modelo
Supongamos que estamos tratando con ondas acústicas. Tenemos
[math]\rho U_{tt} = k \Delta U,[/math]
donde [math] k [/math] es la constantes elásticas en problemas de dispersión acústica. La onda incidente es armónica en el tiempo
[math]U_{inc}(\vec{x}, t) = Re\left[e^{−i \omega t} u_{inc}(\vec{x})\right],[/math]
y [math]u_{inc}[/math] es una onda plana que se propaga en la dirección [math]\vec{d}[/math], tal que
[math]u_{inc}(\vec{x})= e^{i k \vec{x} \cdot \vec{d}}[/math]
La solución del problema directo es también armónica en el tiempo por lo que
[math]U(\vec{x}, t) = Re\left[e^{−i \omega t} u(\vec{x})\right],[/math]
La onda incidente genera una la parte dispersada en [math]R \backslash \Omega[/math] y en una parte trasmitida en [math]\Omega[/math]
[math]u=u_{inc}+u_{sc} \text{ en } R\backslash\Omega[/math]
y
[math]u=u_{trans} \text{ en } \Omega.[/math]
Se tiene que $u$ es la solución del problema,
[math] \Delta u + k_e u = 0 \text{ en } R \backslash \Omega, [/math]
[math] \Delta u + k_i u = 0 \text{ en } \Omega, [/math]
[math] u^+ = u^-\text{ en } \partial\Omega,[/math]
[math] \partial_n u^+ = \partial_n u^- \text{ en } \partial\Omega,[/math]
donde [math]k_e[/math] y [math]k_i[/math] corresponden al medio y a los defectos respectivamente.
2 Derivadas topológicas
2.1 General
La variable que pretendemos encontrar, [math]\Omega[/math], puede ser hallada minimizando un funcional del error
[math] J=\dfrac{1}{2} \int_\Gamma |u-u_{meas}|^2.[/math]
La minimización puede ser realizada utilizando el método de las Derivadas topológicas.
La Derivada topológicas se define como,
[math]D_T(\vec{x}, R)=\dfrac{J(R\backslash B_\epsilon(\vec{x}))-J(R)}{f(\epsilon)}[/math]
donde [math]B_\epsilon(\vec{x})[/math] es la bola de centro [math]\vec{x}[/math] y radio [math]\epsilon[/math] y [math]f(\epsilon)[/math] es una función positiva monótona decreciente cuyo límite existe y es no nulo y que además tiende a cero cuando [math] \epsilon [/math] también tiende a cero.
Ciertamente, la Derivada topológica es una función lineal de [math]\vec{x}[/math] fácil de interpretar como la variación del funcional [math]J[/math] cuando se retira un volumen infinitesimal centrado [math]\vec{x}[/math] y de radio [math]\epsilon[/math]. Escrito en forma de desarrollo,
[math] J(R\backslash B_\epsilon(\vec{x}))=J(R)+D_T(\vec{x}, R)f(\epsilon)+\ldots [/math]
que permite entender mas claramente que en el caso en el que [math]D_T(\vec{x}, R)\lt0 [/math] la probabilidad de que exista un defecto localizado en [math]\vec{x}[/math] es elevada.
2.2 Calculo de la derivada topologica
En la práctica no se calcula la [math]D_T[/math] utilizando su definición sino que se utilizan formulaciones alternativas utilizando, por ejemplo, una definición equivalente como límite de derivadas de forma y realizando posteriormente desarrollos asintóticos. En la mayoría de los casos, se suele poder llegar a expresiones sencillas de la DT que involucran la resolución de un problema directo y de un problema adjunto. Esto se puede concretizar de la siguiente forma. Para
[math] J=\dfrac{1}{2} \int_\Gamma |u-u_{meas}|^2.[/math]
se tiene que [math] D_T(\vec{x}, R)=Re\left[(k_i^2-k_e^2) u(\vec{x})w(\vec{x})\right] [/math]
donde [math]u[/math] es solución de un problema directo y [math]w[/math] es solución de un problema adjunto. Es decir, tomando [math]\Omega=\emptyset[/math] se tiene que [math]u[/math] es solución de
[math] \Delta u + k_e u = 0 [/math]
y por tanto es
[math]u_{inc}(\vec{x})= e^{i k \vec{x} \cdot \vec{d}}[/math]
Por otra parte, [math]w[/math] es solución de
[math] \Delta w k_e^2 w = \overline{u-u_{meas}}\partial_{\Gamma}.[/math]
Por ello, [math]w[/math] es del tipo
[math] w = \int_{\Gamma} G(\vec{x}-\vec{y}) (\overline{u-u_{meas}})(\vec{y}) dl_y. [/math]
3 Aplicación de las derivadas Topológicas
3.1 descripción del problema
Como parte del curso de Ecuaciones en derivas parciales, Problema inverso y control, se pide aplicar la técnica anteriormente descrita a un problema. en una primera fase, el problema propuesto consiste en encontrar la derivada topológica en un dominio cuadrado [math][-1,1] \times [-1,1][/math] en el que existen unos defectos desconocidos, ver dominio_calculo. Para ello se han hecho incidir diez ondas con diversas direcciones y se cuenta con una doce puntos de medida, localizados en torno al dominio cuadrado.
