Logística con umbral (Grupo 10-C)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Logística con umbral (Grupo 10-C) |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores |
Íñigo Díez García (1051) Pablo Molinero Brito (1172) Diego Navarro Gozalo (1049) Dariusz Adam Pabian (1187) Javier Santander Gimeno (1223) Pablo Vázquez Melgarejo (1090) |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Introducción
Este artículo tiene por objetivo estudiar el modelo logístico mediante el análisis de dos problemas independientes. En primer lugar, trataremos un problema de valor inicial que resolveremos empleando distintos métodos numéricos para posteriormente interpretarlos para unas constantes fijas dadas, cambiando el número paso y valor inicial de la función. Posteriormente, se procede a la interpretación de los resultados.
La segunda parte del trabajo consiste en la resolución de un sistema y su interpretación. Para ello, nos encontraremos de nuevo con unas constantes fijas dadas en los seis apartados a estudiar, para los seis casos distintos.
2 Modelo de población de una especie
Nos encontramos con el siguiente problema de valor inicial: [math] \left\{\begin{array}{c} y'= -ry(1-\frac{y}{M1})(1-\frac{y}{M2}), t\gt0 \\ y=y0 \end{array}\right. [/math]
Asociamos este problema a un modelo de población de una especie que interacciona con el entorno. Lo resolveremos numéricamente mediante los métodos de Euler, Heun y Runge-Kutta de orden 4. Los datos proporcionados son los siguientes: el intervalo [math] I=[0,100] [/math], los saltos de paso son [math] h=1 [/math], [math]h=0.1 [/math], [math]h=0.01[/math] (con esto veremos cómo cambia la precisión de la solución en función de los pasos de salto escogidos), y las constantes \(r-0.04\), \(M_1-30\), \(M_2-100\). El valor inicial de la función \(y\) es \(y_0=60\).
%Modelo logístico
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;
tN=100;
y0=60;
h=input('introduce numero de paso: ');
M1=30;
M2=100;
r=0.04;
%Calculamos número de subintervalos
N=round((tN-t0)/h);
%Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN;
%Creamos los vectores solución y,w,z
y=zeros(1,N+1); %Euler
w=zeros(1,N+1); %Heun
z=zeros(1,N+1); %Runge-Kutta
%Damos el valor inicial a la primera posicion del vector
y(1)=y0;
w(1)=y0;
z(1)=y0;
%Bucle
for i=1:N
%Euler
y(i+1)=y(i)+h*(-r*y(i)*(1-(y(i)/M1))*(1-(y(i)/M2)));
%Heun
k1=(-r*w(i)*(1-(w(i)/M1))*(1-(w(i)/M2)));
k2=(-r*(w(i)+h*k1)*(1-((w(i)+h*k1)/M1))*(1-((w(i)+h*k1)/M2)));
w(i+1)=w(i)+(h/2)*(k1+k2);
% Runge-Kutta
A1=(-r*z(i)*(1-(z(i)/M1))*(1-(z(i)/M2)));
A2=(-r*(z(i)+1/2*A1*h)*(1-((z(i)+1/2*A1*h)/M1))*(1-(z(i)+1/2*A1*h)/M2)); %z(i)+1/2*A1*h)*(1-(z(i)+1/2*A1*h))
A3=(-r*(z(i)+1/2*A2*h)*(1-((z(i)+1/2*A2*h)/M1))*(1-(z(i)+1/2*A2*h)/M2));
A4=(-r*(z(i)+A3*h)*(1-((z(i)+A3*h)/M1))*(1-(z(i)+A3*h)/M2));
z(i+1)= z(i)+h/6*(A1+2*A2+2*A3+A4);
end
%Obtenemos la tabla de resultados
[t',y',w',z']
hold on
%Gráfico
plot(t,y,'r')
plot(t,w,'g')
plot(t,z)
legend('Euler','Heun','Runge-Kutta','Location','best');
hold off
%Máximo error entre métodos
e1=max(abs(y-w)) %Euler y Heun
e2=max(abs(z-y)) %Runge-Kutta y Euler
e3=max(abs(w-z)) %Heun y Runge-Kutta
2.1 Interpretación numérica
Se observa que los tres métodos empleados en la resolución del sistema se aproximan entre sí conforme disminuye el paso. Todos los métodos se consideran correctos, porque proporcionan información precisa de la solución. Para mejor visualización y compresión del ejercicio, presentamos tres gráficas. En cada una de ellas, aparecen las tres soluciones (cada una de ellas corresponde a un método). La primera gráfica corresponde a un salto de paso [math]h=1[/math]; la segunda a un [math]h=0.1[/math], y la tercera a un [math]h=0.01[/math].
El método de Euler, al ser de orden 1, será menos preciso que los de Heun (orden 2) y Runge-Kutta (orden 4). Para acotar esta diferencia calculamos los errores máximos entre los métodos para cada tamaño de paso \(h\).
2.1.1 Salto de paso h=1
Como vemos en la gráfica, los tres métodos se asemejan mucho a simple vista. Para ver la precisión hemos calculado los errores entre los métodos, siendo [math]e1[/math] el error cometido entre Euler y Heun , [math]e2[/math] el error entre Runge-Kutta y Euler y [math]e3[/math] el error entre Heun y Runge-Kutta.
[math]e1 = 0.1860[/math] ; [math]e2 = 0.1789[/math] ; [math]e3 = 0.0074[/math]
Como vemos en la gráfica de la derecha, y en el cálculo de los errores, podemos decir que el método de Euler nos da una solución dispar a las de Heun y Runge-Kutta, que son bastante más parecidas.
2.1.2 Salto de paso h=0.1
Vemos que los errores esta vez quedan más pequeños, ya que ha disminuido el intervalo. Hemos dibujado dos gráficas con zoom para apreciar mejor las diferencias entre los métodos. Se sigue la misma tendencia que con el salto de paso anterior; la solución de Euler difiere de las otras dos, que se asemejan en términos relativos.
[math]e1 = 0.0177[/math] ; [math]e2 = 0.0177[/math] ; [math]e3 = 7.1680e-05[/math]
2.1.3 Salto de paso h=0.01
Vemos como con este tamaño de paso tan pequeño los errores son muy bajos. No hemos hecho zoom como en los apartados anteriores ya que no se aprecian mayores diferencias.
[math]e1 = 0.0018[/math] ; [math]e2 = 0.0018[/math] ; [math]e3 = 7.1475e-07[/math]
2.2 Interpretación desde el punto de vista poblacional
Se puede asimilar el problema de valor inicial a un modelo de población. La evolución del número de especímenes es distinta en función del número inicial de ellos. Vemos que con valor 60, tal y como nos indica el problema, la población evoluciona con mayor pendiente conforme avanza el tiempo hasta que se estabiliza, cuando se aproxima al valor 100 alcanzando la capacidad de carga de la poblacion del estudio en el medio.
Se puede comprobar que existe un valor a partir del cual el número de especímenes es demasiado bajo como para que la población prospere. En este problema, el valor es 30, como se puede comprobar con las gráficas de la derecha para poblaciones iniciales de 29, 30 y 31; comprobamos que para valores inferiores a 30, la población acaba por desaparecer. Para el valor 30, se da una especie de equilibrio, ya que este número se mantiene invariable en el tiempo. Para valores superiores a 30, la población se aproxima por debajo al valor 100. Para valores superiores a 100, la población se aproxima por encima al valor 100.
2.2.1 Valor inicial de 120 individuos
En este caso, la población inicial es mucho mayor y esto hace que sea imposible su supervivencia dado que no es posible el acceso a recursos para toda la población. El medio esta superpoblado y por ello la población se ve reducida de manera drástica hasta estabilizarse al aproximarse a valores cercanos a 100, como en el caso siguiente en que la población inicial es menor y ésta crece. Podemos concluir que la capacidad de carga de la especie en el medio es un valor cercano a 100.
%Modelo logístico apartado 4
clear all
clf
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;
tN=100;
y0=120;
h=0.1;
M1=30;
M2=100;
r=0.04;
%Calculamos número de subintervalos
N=round((tN-t0)/h);
% Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN;
w=zeros(1,N+1); %Heun
w(1)=y0;
for i=1:N
k1=(-r*w(i)*(1-(w(i)/M1))*(1-(w(i)/M2))); %Heun
k2=(-r*(w(i)+h*k1)*(1-((w(i)+h*k1)/M1))*(1-((w(i)+h*k1)/M2))); %Heun t(i)+h+w(i)+k1*h
w(i+1)=w(i)+(h/2)*(k1+k2); %Heun
end
hold on
%Gráfico
plot(t,w)
legend('Heun','Location','best');
hold off
2.2.2 Valor inicial de 20 individuos
Con la población inicial en 20 vemos como la especie no es capaz de sobrevivir en el medio, puesto que esta especie requiere un mayor trabajo colaborativo, cayendo a valores cercanos a 0.
%Modelo logístico apartado 5
clear all
clf
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;
tN=100;
y0=20;
h=0.1;
M1=30;
M2=100;
r=0.04;
%Calculamos número de subintervalos
N=round((tN-t0)/h);
% Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN;
w=zeros(1,N+1); %Heun
w(1)=y0;
for i=1:N
k1=(-r*w(i)*(1-(w(i)/M1))*(1-(w(i)/M2))); %Heun
k2=(-r*(w(i)+h*k1)*(1-((w(i)+h*k1)/M1))*(1-((w(i)+h*k1)/M2)));
w(i+1)=w(i)+(h/2)*(k1+k2);
end
hold on
%gráfico
plot(t,w)
legend('Heun','Location','best');
hold off
3 Modelos de poblaciones de dos especies simultáneas
3.1 Introducción
En este caso, estudiamos la evolución de dos poblaciones simultáneas en tiempo y en espacio, de tal forma que pueden interactuar entre sí como competidores por espacio, víveres u otros factores determinantes. El problema no lineal es el siguiente:
[math] \left\{\begin{matrix} x'=a_1x+b_1x^2+c_1xy\\y'=a_2y+b_2y^2+c_2xy \end{matrix}\right. [/math]
Analizaremos diferentes casos.
3.2 Casos a Estudiar
Definimos las funciones \(x\) e \(y\) en función de las constantes dadas en cada caso. Escribimos los códigos correspondientes a los métodos de Euler y Heun. Dibujaremos gráficas para las poblaciones iniciales \(x_0=2\), \(y_0=7\), y otras dos con las poblaciones iniciales de ambas especies iguales a cero para ver las relaciones que existen entre ambas.
%Problema no lineal Euler
clear all;
clf;
%Introducimos los datos del problema
x0=2;
y0=7;
t0=0;
tN=input('Introduce tiempo final');
h=0.1;
a1=input('Introduce a1');
a2=input('Introduce a2');
b1=input('Introduce b1');
b2=input('Introduce b2');
c1=input('Introduce c1');
c2=input('Introduce c2');
%Definimos el número de subintervalos
N=round((tN-t0)/h);
% Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN;
x=zeros(1,N+1);%primera incógnita
y=zeros(1,N+1); %segunda incógnita
x(1)=x0;
y(1)=y0;
for i=1:N
x(i+1)=x(i)+h*(a1*x(i)-(b1*x(i)^2)-c1*x(i)*y(i));%euler primera ecuación del sistema
y(i+1)=y(i)+h*(a2*y(i)-(b2*y(i)^2)-c2*x(i)*y(i)); %euler segunda ecuación del sistema
end
%Definimos la matriz de valores
[x',y'];
%Dibujamos la gráfica
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
legend('competidor(y)','competidor(x)','Location','best');
hold off%Problema no lineal Heun
clear all;
clf;
%Introducimos los datos del problema
x0=2;
y0=7;
t0=0;
tN=input('Introduce tiempo final');
h=0.1;
a1=input('Introduce a1');
a2=input('Introduce a2');
b1=input('Introduce b1');
b2=input('Introduce b2');
c1=input('Introduce c1');
c2=input('Introduce c2');
%Definimos el número de subintervalos
N=round((tN-t0)/h);
% Definimos la variable independiente
t=t0:h:tN;
x=zeros(1,N+1);%primera incógnita
y=zeros(1,N+1); %segunda incógnita
x(1)=x0;
y(1)=y0;
for i=1:N
k1=(a1*x(i)-(b1*x(i)^2)-(c1*x(i)*y(i))); %Heun
k3=(a2*y(i)-b2*y(i)^2-c2*x(i)*y(i));
k2=(a1*(x(i)+h*k1)-b1*(x(i)+h*k1)^2-c1*(x(i)+h*k1)*(y(i)+h*k3)); %Heun t(i)+h+w(i)+k1*h
k4=(a2*(y(i)+h*k3)-b2*(y(i)+h*k3)^2-c2*(x(i)+h*k1)*(y(i)+h*k3));
x(i+1)=x(i)+(h/2)*(k1+k2);
y(i+1)=y(i)+(h/2)*(k3+k4);
end
%Definimos la matriz de valores
[x',y'];
%Dibujamos la gráfica
hold on
plot(t,y,'r')
plot(t,x,'g')
legend('competidor(y)','competidor(x)','Location','best');
hold off
Para calcular los máximos y mínimos de cada caso, utilizamos las funciones \(max(f)\) y \(min(f)\).
3.2.1 Caso 1:Parasitismo
Parasitismo: es un tipo de simbiosis, y tiene una estrecha relación en la cual uno de los participantes, (el parásito o huésped) depende del otro (el hospedero u hospedador) y obtiene algún beneficio; lo cual implica daño para el hospedero. El parasitismo puede ser considerado un caso particular del depredador-presa.
\(a1 = −0.3, a2 = 1.15, b1 = 0, b2 = 0, c1 = −0.08, c2 = 0.09, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 150].\)
Para paso h=0.1, el método de Euler es inestable y no nos sirve para resolver el problema. Heun si es válido y la gráfica nos permite observar el desarrollo de dos poblaciones, una de ellas depredadora y la otra presa.
El aumento y descenso de ellas se ve relacionado en tanto que al aumentar mucho las presas, los depredadores tienen más comida y consecuentemente aumentan en número. Conforme va aumentando el número de depredadores, las presas disminuyen, porque viven más perseguidas, por lo que su número caerá rápidamente. Esto es un proceso cíclico que se repite con iguales consecuencias cada cierto tiempo, por lo que podremos decir que goza de cierta estabilidad. Las gráficas nos permiten ver que, aunque la cantidad de presas o depredadores se vea muy reducida, nunca llega a 0, lo cual permite que se recuperen.
Al utilizar un tamaño de paso igual a 0.0001 el método de Euler se vuelve preciso y por tanto válido para resolver el problema. Cuando reducimos tanto el tamaño de paso, el trabajo que tiene que realizar el ordenador es muy grande, por lo que el método aunque sea válido, no es práctico.
Para analizar esta situación, en primer lugar, hemos estudiado el comportamiento de cada especie individualmente. Para ello, hacemos que la especie \(x\) no exista (sea cero), y vemos el comportamiento que sigue la especie \(y\). Apreciamos que el comportamiento de ésta es independiente de la otra, ya que al interactuar con la otra no modifica su crecimiento. Sin embargo, al hacer cero la especie \(y\), vemos como la \(x\) desciende, porque necesita de la otra especie para sobrevivir. De esto deducimos que la \(x\) es un un parásito de la especie \(y\) (hospedador).
Las funciones originales son periódicas, pero ligeramente desfasadas. Se observa, que también difieren bastante en amplitud. Esto se debe a que la especie hospedadora se aprovecha y vive a costa de la otra especie.
Ambas especies parten del número individuos dado en el problema, y crecen hasta máximos de 41.6659 por parte de la \(x\) y de 26.6255 por parte de la \(y\). Es obvio que el máximo de la \(y\) es inferior al de la \(x\), ya que la primera es la especie parasitaria y la segunda el hospedador.
En el caso de los mínimos, si bien en la gráfica parece que se extinguen, realmente llegan a valores muy próximos a cero (1.8624 y 0.0229, respectivamente). Es importante destacar que en ningún momento ninguna de las especies llega a la extinción total.
3.2.2 Caso 2: Neutralismo
Neutralismo: es una relación biológica, entre dos especies o poblaciones que interactúan, en la cual ninguno de los individuos recibe beneficio ni perjuicio. Son casos poco probables, y a menudo se suelen aplicar a situaciones donde las interacciones son poco más que insignificantes o despreciables. Se suele confundir con el comensalismo.
\(a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 40].\)
Se observa que la evolución de una especie no se ve afectada por la otra. Hay un instante en el que el número de ambas especies coincide, pero son totalmente independientes, esto se comprueba viendo los valores de las constantes \(c1\) y \(c2\), ambas nulas en este caso,por lo que coexisten sin influir una sobre la otra.
Al calcular las gráficas para cada población por separado también observamos la independencia de ambas especies, que alcanzan los mismos valores que en la gráfica en la que las dos interactúan.
En nuestro caso, la especie \(x\) tiene un crecimiento logarítmico que tiende a un valor de 3.9934, mientras que la especie \(y\) va disminuyendo con el tiempo hasta estabilizarse en torno a 2.5 (2.5001). La variación de la función \(x\), es muy elevada en un intervalo de tiempo inicial (aproximadamente hasta el tiempo 20) y luego tiende al valor máximo anteriormente indicado (es lo que caracteriza a las funciones logarítmicas).
Aquí, al ser ambas funciones independientes (ninguna especie influye sobre la otra) el comportamiento del máximo y mínimo no tiene relevancia al estudiar la interacción entre ambas especies.
La especie \(x\) sigue creciendo al final del intervalo, aunque su crecimiento es cada vez menor. Aparentemente, la población tiende a estabilizarse generando un ecosistema estable alcanzando un valor máximo de 3.9934 dentro de nuestro rango de tiempo.
3.2.3 Caso 3: Cooperación
Cooperación: es la relación interna específica de colaboración para la obtención de un objetivo común de una población, como la protección o la cacería, entendiéndose por población como el conjunto de individuos de una misma especie, ubicada en un área determinada.
a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = −0.015, c2 = −0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].
En este caso, podríamos interpretar esto como un competidor \(x\), protector de la otra especie \(y\), viendo como un ascenso del mismo permite que la especie \(y\) frene su caída y aumente su número. Concluyendo y apoyándonos en las gráficas auxiliares (en las que anulamos primero el número de la especie \(x\) y luego el de la especie \(y\)), observamos lo siguiente: La desaparición de la especie \(y\), perjudica el desarrollo de la especie \(x\), no pudiendo alcanzar el mismo número de miembros.
No podemos hablar de una estabilización de la población de ambas especies en el intervalo de tiempo dado alcanzando estas valores en el extremo del ntervalo t de 5.1906 la \(x\) y de 3.55 la \(y\).
\(a1 = 0.16, a2 = 0.25, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = −0.015, c2 = −0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].\)
La especie y presenta un descenso del número de individuos que alcanza un mínimo absoluto en 3.3671, a partir del cual comienza un intervalo de crecimiento (se beneficia de una mayor presencia de la otra especie).
3.2.4 Caso 4: Competición
Competición: interacción biológica entre seres vivos en la cual la aptitud o adecuación biológica de uno es reducida a consecuencia de la presencia del otro. La competencia afecta a la estructura de las comunidades ecológicas. Puede darse entre miembros de la misma especie, se llama competencia intraespecífica; y la que tiene lugar entre miembros de diferentes especies es competencia interespecífica.
\(a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0.015, c2 = 0.02, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].\)
En las gráficas observamos que, en el momento en que el número de miembros de ambas especies coincide, la más fuerte \(x\), aumenta su número (hablamos de una variación elevada en un período de tiempo pequeño) y luego se estabiliza. Por otro lado, la especie más débil disminuye después de que las gráficas de ambas se "encuentren" hasta que llega a estabilizarse.
Corroboramos, con las gráficas para cada población en solitario, que la interacción entre las especies reduce la población de ambas con respecto a la que alcanzarían en un medio en el que no coexistiesen, en el que estuvieran en solitario. La población \(y\) alcanza un máximo de 8.5462 en un tiempo alrededor de 2 cuando interactúa con la \(x\), y tras alcanzar el máximo decrece debido a el incremento de la especie \(x\) y la competicion entre ambas por los recursos del habtat. El decrecimiento continua hasta estabilizarse a un valor de 5.4071. La \(x\) a su vez, aumenta logarítmicamente hasta llegar a un valor de 22.9717.
Si las vemos por separado vemos que ambas crecen hasta valores de 10 (la \(x\)) y 25 (la \(y\)), bastante por encima de los valores a los que se llegarían en un hábitat en el que cohabitasen.
Finalmente, podemos decir que la población se estabiliza en el medio llegando a los valores anteriormente comentados.
3.2.5 Caso 5: Amensalismo
Amensalismo: es la interacción biológica que se produce cuando un organismo se ve perjudicado en la relación, y el otro no experimenta ninguna alteración. Es necesario que se den interacciones diversas entre las especies.
\(a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = 0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 10].\)
Hemos concluido que la relación entre las especies en este caso es una de Amensalismo. Llegamos a esta conclusión tras varias observaciones:
A primera vista, vemos como el incremento de los miembros de la especie \(x\) produce una disminución en los miembros de \(y\) hasta su extinción en un tiempo próximo a 4 (alcanzando un mínimo de 6.4617e-12 aproximable a 0). A su vez, el \(x\) continúa creciendo, alcanzando un máximo de 25 (24.9868) y estabilizándose en este valor.
Interpretando las gráficas en las que solo existe una especie, apreciamos como la existencia de ambas es posible individualmente. Vemos como la especie \(y\) (rojo) es capaz de sobrevivir sin presencia del otro competidor, la \(x\) (verde).
En el caso de la población \(x\) vemos como su desarrollo no se ve afectado por la presencia o ausencia de la otra especie; esto es debido al coeficiente \(c1=0\), que implica que las interacciones entre ambas especies no afectan a la dinámica de la población \(x\).
En el apartado de la estabilidad del ecosistema concluimos que el ecosistema se estabiliza en una valor de tiempo cercano a 9, con la especie \(y\) extinta y la \(x\) estabilizada en un valor de 25.
También observamos que las gráficas, al llegar a sus máximos, dejan de ser representadas, ya que el programa de cálculo confunde su representación con el extremo superior del recuadro que enmarca la gráfica.
3.2.6 Caso 6: Comensalismo
Comensalismo: relación entre especies, en la cual, una recibe beneficios y otra no resulta ni beneficiada ni perjudicada. Podemos destacar tres tipos de comensialismo: la Foresis, usado por el segundo organismo para transportarse; Inquilinismo, es cuando el segundo organismo se hospeda en el primero; y Metabiosis o tanatocresia, que consiste en el aprovechamiento de restos de otra especie.
\(a1 = 1, a2 = 1, b1 = 0.04, b2 = 0.1, c1 = 0, c2 = −0.2, x(0) = 2, y(0) = 7 y t ∈ [0, 20].\)
Vemos como las 2 especies crecen y se estabilizan, observando como el competidor \(y\) alcanza una mayor población y tiene un crecimiento mas rápido que la especie de la que se beneficia, la \(x\).
Si nos fijamos en los gráficos para poblaciones iniciales nulas de ambas especies, comprobamos que la especie \(y\) (curva roja) se ve muy beneficiada al estar en contacto con la especie \(x\) (curva verde), de la cual es comensal. En este gráfico con población inicial nula, se aprecia que la población de la especie se estabiliza en un valor de 10, mientras que en la gráfica superior, en la que coexisten ambas especies en el mismo medio, su población se estabiliza en 60.
También apreciamos como la población de el competidor \(x\) tiene la misma evolución en ambas gráficas independientemente de la existencia de la especie \(y\). A esta conclusión también llegamos observando que la constante \(c1 = 0\) al igual que en el caso anterior.
Si aumentamos el tiempo final, vemos como las 2 poblaciones se mantienen estables en los valores de sus capacidades de carga máxima , siendo la de Capacidad de carga de \(y = 60\) y la de Capacidad de carga de \(x = 25\) (igual que en apartado anterior), por lo que podemos concluir que el ecosistema es estable en el tiempo mientras que no haya alteraciones graves del medio.
3.3 Diagramas de \(x\) contra \(y\)
Finalmente, hacemos un resumen de los casos estudiados y su correspondiente análisis comparando la manera en que se relacionan ambas especies en cada caso. Calculamos las gráficas que muestran la relación entre \(x\) e \(y\) con independencia del tiempo, dibujando \(x\) e \(y\) en los ejes.
Se trata de una representación más técnica que la empleada anteriormente, en la que igualábamos a cero cada especie para comparar el comportamiento de la otra sin la existencia de la primera. Usamos el código \(plot(x,y)\) para representarlo, y lo mostramos en las gráficas a continuación:
\(Parasitismo:\) la gráfica nos muestra que estamos ante el caso más inestable. Al tratarse de una función periódica, el crecimiento o decrecimiento de una especie (parásito) se ve afectado por el de la otra (hospedador).
\(Neutralismo\): este caso es estable a lo largo del tiempo, ya que las especies no influyen entre ellas.
\(Cooperación\): la gráfica es similar al caso anterior, con el ligero matiz de que cuando una especie comienza a crecer, la otra también lo hace, siendo un caso que podemos considerar estable a lo largo del tiempo.
\(Competición\): inestable al principio, el modelo comienza a estabilizarse a partir del máximo, aproximadamente en (7,8.5). A partir de ese momento decrece la función como consecuencia de que la especie \(x\) es superior a la \(y\) en la competencia.
\(Amensalismo\): en este caso, la gráfica es deducible al compararla con el gráfico tiempo-población. La especie \(x\) se aprovecha de la \(y\), hasta que ésta desaparece (se estabiliza por ambas partes).
\(Comensalismo\): observamos aquí una recta (función lineal), que nos indica la estabilidad del sistema con el paso del tiempo.
