Desintegración Radiactiva G18
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Desintegración Radiactiva. (Grupo 18-A). |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores | Lucas Fabretti Torino - 506
Fernando Marin Lopez-Santa Cruz - 771 |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Se ha observado que los materiales radiactivos como el plutonio, el radio o el isótopo C 14 se desintegran naturalmente para formar otro elemento o isótopo del mismo elemento con una rapidez proporcional a la cantidad de material radiactivo presente. Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo.
M‘(t) = -kM(t)
Contenido
- 1 Interpretación de la fórmula
- 2 Datación Arqueológica
- 3 resolución del caso anterior mediante el método del trapecio
- 4 Aproximación de la Vida Media de un Elemento Radiactivo
- 5 Determinar Sistema de Ecuaciones
- 6 Resolucion por Euler y por el metodo del Trapecio
- 7 Resolución con constantes intercambiadas
1 Interpretación de la fórmula
M es el numero de núcleos radiactivos presentes en función del tiempo y a velocidad de desintegración como la derivada con respecto a t de dicha función (M’). La constante k se denomina constante de rapidez por lo que es proporcional con respecto de la cantidad y del tiempo.
2 Datación Arqueológica
Los restos arqueológicos se hayan mediante un problema de valor inicial, resolviendo por el método de Euler para los intervalos dados: h=0,1 y h=0,01 y constante de desintegración 1.24 x 10^4.
la solución al problema es:
2,0369x10^4 años
3 resolución del caso anterior mediante el método del trapecio
se repite el ejercicio usando el método del trapecio con un intervalo de h:0.1
la solución al problema es:
2,0369x10^4 años
El método de Euler es estable para las ecuaciones que verifiquen que la función es diferenciable. En nuestro caso,f(t,M) es diferenciable y no se anula en ningún punto por lo que es estable.
4 Aproximación de la Vida Media de un Elemento Radiactivo
la solución al problema es:
5589'9 años
5 Determinar Sistema de Ecuaciones
Consideramos ahora una descomposición de un elemento A en otro C a través de un elemento o isótopo intermedio B, A → B →C. el sistema de ecuaciones diferenciales que permiten conocer las cantidades de cada elemento en cada instante de tiempo. Las constantes serán negativas y distintas por que la cantidad de núcleos se va reduciendo. La cantidad de A depende de si misma, pero la B es la que se transforma de A a B menos la que se transforma de B a C
M'A(t)=-k1MA(t)
M'A(t)=k1MA(t)-k2MB(t)
M'C(t)=k2MB(t)
6 Resolucion por Euler y por el metodo del Trapecio
Tomando las constantes k1:5 y k2:1 y con las condiciones iniciales de A,B y C, 1,0,0 respectivamente, resolviendo por Euler con h:0.1 y por el trapecio
La interpretación mas plausible de los gráficos seria definir la descomposición de A como independiente. La cantidad de B va aumentando a medida que se desintegra mas A pero cesa cuando la proporción de B con respecto de A es de 5 a 1 mientras que la C crece a medida que desaparecen las otras dos hasta estabilizarse. Con respecto a los diferentes Gráficos se puede apreciar mejor precisiones el método del trapecio.
7 Resolución con constantes intercambiadas
En este apartado hicimos que la constante de A más pequeña que la de B por lo que se degenera el A más despacio por lo que el B casi no crece mientras que el C no varía demasiado su crecimiento comparado con la forma anterior.
(El código es el mismo intercambiando las 'k')
