Modelos epidemiológicos. Grupo C14
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Modelos epidemiológicos. Grupo C14 |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores | Palacios Pintor, Pedro
Pontiveros Bermejo, Diego Reinoso Muñoz, Cristina Rojas Arranz, Almudena Torre Prado, Yago de la Vidal Sánchez, Nieves |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
En esta página se discutirá y analizará un modelo epidemiológico mediante métodos de cálculo numérico.
El modelo se basa en las siguientes hipótesis:
- El número de personas infectadas sólo se altera por el fallecimiento o cura de éstas, y se ve afectada por el número de contagios entre la población de riesgo.
- La tasa de individuos que pasan de la población de riesgo a estar infectados es proporcional a la interacción entre el número de individuos entre ambas clases.
Contenido
1 . INTERPRETACIÓN DEL MODELO
Matemáticamente el modelo viene definido por las siguientes ecuaciones:
[math] \left\{\begin{matrix} \frac{dS}{dt}=-aSI\\ \frac{dI}{dt}=aSI-bI-cI \end{matrix}\right. [/math]
Donde:
-La función [math] S [/math] indica la cantidad de personas en riesgo de ser infectadas e [math] I [/math] el número de individuos que ya han contraído la enfermedad.
- El valor de [math] a [/math] es un coeficiente relacionado con la probabilidad de contagio cuando se juntan individuos de la población de riesgo con la de infectados. El coeficiente [math] b [/math] es el porcentaje de infectados que sanan en una unidad de tiempo, en este caso días, y el [math] c [/math] el porcentaje de infectados que fallece cada día.
2 . CASO DE POBLACIÓN DE RIESGO CONSTANTE
Conocido el dato de población de riesgo y siendo éste constante,el problema queda simplificado a una única ecuación diferencial lineal y de coeficientes constantes.
Para resolver dicha ecuación, se han utilizado los métodos de Euler y trapecio, dados los siguientes datos iniciales:
[math] \left\{\begin{matrix}
I_{0}=2000\\
a=0.003\\
b=0.3\\
c=0.01
\end{matrix}\right.[/math]
Éste es el programa que resuelve la ecuación mediante el método de Euler:
programa
Esta última parte del programa calcula el tiempo que tarde en reducirse el número de infectados a la cuarta parte por el método de Euler.
programa tiempo
Y éste, el que lo resuelve por el método del trapecio:
programa
Por este método también se puede saber el tiempo que tarda en reducirse a la cuarta parte.
programa tiempo
2.1 . [math] S=0 [/math]
Debido a que la ecuación lineal es de coeficientes constantes, es sencillo obtener la solución de manera analítica, resultando:
[math] I=2000e^{-0.31t}[/math]
La gráfica obtenida es:
imagen
Para [math] S=0 [/math] el tiempo que tarda en reducirse el número de infectados a la cuarta parte es: tiempo
2.2 . [math] S=100 [/math]
Resuelto analíticamente:
[math] I=2000e^{-0.01t}[/math]
La gráfica devuelta es:
imagen
Para [math] S=100 [/math] el tiempo en reducirse es: tiempo
2.3 . [math] S=200 [/math]
Al resolver la ecuación de manera analítica, se obtiene:
[math] I=2000e^{0.29t}[/math]
La gráfica resultante es:
imagen
En la gráfica se puede observar que el número de personas infectadas crecerá exponencialmente a lo largo del tiempo.
Analíticamente se demuestra que ésto ocurrirá a partir de [math] S\geq 104 [/math].
[math]\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}= aSI-bI-cI[/math]
Sustituyendo en dicha ecuación los valores iniciales,
[math]\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}= 0.003SI-0.3I-0.01I[/math]
La ecuación anterior alcanza su punto crítico en [math] S=104 [/math] .
Por tanto, para [math] S=200 [/math] no se puede obtener el tiempo que tardará el número de infectados en reducirse a la cuarta parte, puesto que la función es creciente.
3 . ANÁLISIS DEL SISTEMA POR EL MÉTODO DE EULER
Para este análisis, se considera el modelo completo, teniendo en cuenta ambas ecuaciones del sistema y utilizando los siguientes datos:
[math]\left\{\begin{matrix}
a=0.003\\
b=0.3\\
c=0.01\\
t\epsilon [0,40]
\end{matrix}\right.[/math]
Además, se han analizado distintas soluciones a partir de la variación del paso:
[math]h=10^{-1}, h=10^{-2}, h=10^{-3}, h=10^{-4}[/math]
Éste ha sido el programa utilizado:
Insertar programa
3.1 . [math] (S_{0},I_{0})=(800,20) [/math]
Insertar gráficas para las distintas h
El programa además, devuelve el valor máximo de enfermos esperados [math]I_{max}=?[/math] y el momento en el que ésto ocurrirá [math]t=?[/math]. Se tienen en cuenta los datos obtenidos por el programa con el menor paso, ya que serán los más exactos.
3.2 . [math] (S_{0},I_{0})=(10000,40) [/math]
Insertar gráficas para las distintas h
Se puede observar, que a partir del paso [math]h=?[/math], el resultado obtenido por la gráfica es incongruente, debido a que el valor del número de personas en riesgo desciende rápidamente.
Ésto ocurre porque el número inicial de personas infectadas [math]I_{0}[/math] es muy elevado y al aumentar el valor del paso, el programa se hace cada vez mas inexacto, provocando que la derivada en el tramo sea muy grande, influyendo por tanto en la pendiente de la gráfica.
Utilizando el menor paso, para que el programa sea lo más exacto posible, se obtiene el número máximo de enfermos esperado, que es [math]I_{max}=?[/math] y cuándo se producirá [math]t=?[/math]. Al haber utilizado [math]h=10^{-4}[/math], el error mencionado anteriormente no influye.
4 . ANÁLISIS DEL SISTEMA POR RUNGE-KUTTA
A continuación se resuelve el sistema por el método de Runge-Kutta, de cuarto orden, partiendo de los mismos datos que los utilizados para el método de Euler:
[math]\left\{\begin{matrix}
a=0.003\\
b=0.3\\
c=0.01\\
t\epsilon [0,40]
\end{matrix}\right.[/math]
El programa por el que se obtiene la solución, a partir de los datos iniciales [math](S_{0},I_{0})[/math], es el siguiente:m programa
Obteniendo las siguientes gráficas: imagen para (S0,I0)=(800,20) y para (S0,I0)=(10000,40)
Este método comparado con Euler, da lugar a las gráficas:
imagen para los distintos (S0,I0)
Usar el método trapezoidal, o cualquier otro método implícito, conlleva un excesivo trabajo operativo producido por su alta complejidad y duración. Ésto deriva en que la utilización de métodos como Euler o Runge-Kutta sea predominante a la hora de resolver este tipo de sistemas.
5 . ANÁLISIS DEL SISTEMA CON PARÁMETRO [math] a [/math] VARIABLE
En este caso, se tiene que el parámetro [math] a [/math], es una función que depende del tiempo:
[math] a(t)=\frac{0.003}{1+t} [/math]
Además se tiene unos datos iniciales de infectados [math] (I_{0}) [/math] y de población total [math] (S+I) [/math] de:
[math]\left\{\begin{matrix}
I_{0}=40\\
S+I=1640
\end{matrix}\right.[/math]
Tomando dichos datos, se ha utilizado el método de Heun para aproximar la solución y así poder dibujar sendas gráficas, susceptibles e infectados:
programa e imagen(es)
El coeficiente [math] a(t)=\frac{0.003}{1+t} [/math] , varía con respecto al tiempo, tal y como indica la fórmula. Que este parámetro sea variable se puede interpretar como: interpretación
6 . CALIBRACIÓN DEL COEFICIENTE [math] a [/math]
Para calibrar el coeficiente [math] a [/math], se tomará una situación similar a la del apartado anterior, tomando [math] a [/math] constante en el intervalo [math] a\in \left [ 0.0005 \right, 0.002] [/math].
A partir de una experiencia previa se conoce que el máximo de personas infectadas se alcanza a los 5 días.
De todos los valores que se obtendrán, solo será relevante aquel valor de [math] a [/math] cuyo máximo este más cerca de 5 días.
El programa utilizado para resolver este apartado requiere que se divida el intervalo al que pertenece [math] a [/math] en un conjunto de valores equidistribuidos para ello se ha tomado un paso de [math] h=10^{-4} [/math]
Mediante el uso de un bucle que calculará el máximo para cada valor de [math] a [/math], únicamente se almacenara aquel que esté más cerca de 5 días, que es cuando el número de personas infectadas alcanza su punto más alto.
programa e imagen(es)
