Desintegración Radiactiva. Grupo 27 C

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Trabajo realizado por estudiantes
Título DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA. GRUPO 27 C
Asignatura Ecuaciones Diferenciales
Curso Curso 2014-15
Autores Pablo Goenechea Álvarez

Íñigo Uraga Palacio

Paula de Santos Muñoz

Ignacio Lizasco Casillas

Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura


El Trabajo 3 del curso 2014/2015 de Ecuaciones Diferenciales nos habla del comportamiento de distintos materiales radiactivos (durante gran parte del trabajo será el isótopo [math] C^{14} [/math]). El cual se desintegra de forma natural para formar elemento o isótropo del mismo elemento con una rapidez proporcional a la cantidad de material radiactovo presente. Este procedimiento puede simularse con la siguiente ecuación diferencial para la concentración de elemento radiactivo: :[math] M'(t)=-kM(t) [/math] A partir de esto tendremos que ir resolviendo los problemas que nos plantea el trabajo y que son los que se pueden ver en el índice del contenido:



1 ) Interpretación

M(t) es una función que depende del tiempo y mide la concentración de la sustancia A, su derivada M'(t) mide la velocidad de desintegración de A en favor de B y es proporcional a "k" que es la constante de desintegración del material radiactivo (negativa en este caso puesto que decrece la concentración de A). La concentración de B será 1-M(t) puesto que la concentración de A más la concentración de B es siempre igual a 1.

2 ) Cálculo de la Edad con el Método Euler

% Condiciones Iniciales

    h1=0.1;
    M1(1)=M0;
    t1(1)=t0; 
    a=1;

% Este bucle con while nos permite intruducir la condición de que el programe pare
% de aproximar cuando el porcentaje de carbono llegue al 8%
   
    while M1(i)>(M0*0.08)
     
      M1(a+1)M(a)+h1*(-(1.24e-04)*M1(a));
      t1(a+1)=t1(a)+h1;
      a=a+1;
   
    end

% En esta segunda parte repetimos el proceso aproximando la solución
% por el mismo método pero para un paso menor e igual a 0.01, que nos
% dará una solución más aproximada pues se repite el proceso más veces
% en el mismo intervalo.

    t0=0;
    M0=1; 
    h2=0.01;
    M2(1)=M0;
    t2(1)=t0;
    n=1;
   
    while M2(n)>(M0*0.08)
     
      t2(n+1)=t2(n)+h2;
      M2(n+1)=M2(n)+h2*(-(1.24e-04)*M2(n));
      n=n+1;
   
    end

% Con los próximos comandos obtenemos las gráficas y los resultados en pantalla

    disp('Antigüedad de los restos (en años):')
    disp(t2(end))
    disp(i)
   
    hold on
    figure(1)
    plot(t1,M1)
    legend('MÉTODO DE EULER h=0.1')
    xlabel(' t (años)  ')
    ylabel ('Cantidad de carbono')
    hold off

    hold on
    figure(2)
    plot(t2,M2)
    legend('MÉTODO DE EULER h=0.01')
    xlabel('  t (años)  ')
    ylabel('Cantidad de carbono')
    hold off

    hold on
    plot(t1,y1)
    plot(t2,y2,'--r')
    legend('MÉTODO DE EULER h=0.1','MÉTODO DE EULER h=0.01')
    hold off

border border



3 ) Cálculo de la Edad con el Método del Trapecio

% Condiciones Iniciales

    h1=0.1;
    y0=1; 
    y(1)=y0;       
    t1(1)=t0;
    i=1;
    condition=0.08;

% Programa
    
    while y(i)>(y0*0.08)
      
      y(i+1)=((1-h1*(1.24e-04)/2)/(1+h1*(1.24e-04)/2))*y(i);
      t1(i+1)=t1(i)+h1;
      i=i+1;

    end

% Resultado

    disp('Antigüedad de los restos (en años):')
    disp(t1(end))
    disp(i)


% Dibujamos la gráfica

    hold on
    plot(t1,y,'m')
    legend('trapecio')
    xlabel(' t (años)  ')
    ylabel('Cantidad de carbono')
    hold off

center

4 ) Cálculo de la Vida Media con el Método Runge-Kutta

% Condiciones Iniciales
    
    t0=0;
    h=0.1;
    M0=1;
    t(1)=t0;
    M(1)=M0;
    i=1;

% Programa

    while M(i)>(M0*0.5)
      K1=(-1.24e-04)*M(i);
    
      t2=t(i)+(h/2);
      M2=M(i)+(h/2)*K1;
      K2=(-1.24e-04)*M2;
    
      t3=t2;
      M3=M(i)+(h/2)*K2;
      K3=(-1.24e-04)*M3;
    
      t4=t(i)+h;
      M4=M(i)+h*K3;
      K4=(-1.24e-04)*M4;
    
      M(i+1)=M(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
      t(i+1)=t(i)+h;
      i=i+1;

    end

% Resultados

    disp('Vida media del carbono (en años) ')
    disp(t(end))

% Dibujamos las gráficas

    hold on
    plot(t,M)
    xlabel(' t (años) ')
    ylabel('Cantidad de carbono')
    legend('MÉTODO DE RUNGE KUTTA h=0.1')
    hold off

center


5 ) Determinación el Sistema de Ecuaciones Diferenciales

El sistema de ecuaciones tendrá tres ecuaciones independientes a resolver, una para cada sustancia: A, B y C. La derivada de cada sustancias respecto del tiempo mide la velocidad de desintegración de la sustancia en cuestión y es representada por A', B' y C'.

Como la sustancia A se desintegra en B, la constante (k1) será negativa puesto que decrece la concentración de A. La sustancia B crece al mismo ritmo que la velocidad de desintegración de A por lo que k1 será positiva pero a la vez se desintegra en favor de C a una velocidad de k2 por su concentración, siendo k2 negativa. Por último, la sustancia C crecerá al ritmo de la desintegración de B, siendo esta velocidad igual a k2 (positivo) por la concentración de B.

El sistema quedará de la siguiente forma: center


6 ) Resolución del PVI con Método Euler y Método del Trapecio

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=5 y k2=1. Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años. 

% Condiciones Iniciales del PVI   

    t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1; 

    A(1)=A0; 
    B(1)=B0;
    C(1)=C0;

    t(1)=t0; 

    i=1; n=1; k1=5; k2=1;

% MÉTODO DE EULER

    while t<10

        A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
        B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
        C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

        t(i+1)=t(i)+h;

        i=i+1;

    end

   
% Hacemos la gráfica
    
    figure(1)
    
    hold on
    plot(t,A)
    plot(t,B,'g')
    plot(t,C,'r')
    title('EULER')
    legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
    hold off
    

    
    %MÉTODO DEL TRAPECIO
   
   % Renombramos las condiciones iniciales
   
   a0=1; b0=0; c0=0;
   a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
   t1(1)=t0;

    while t1(i)<10

      a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
      b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
      c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));
    
      t1(i+1)=t1(i)+h;

      i=i+1;

    end


% Hacemos la Gráfica

    figure(2)
    
    hold on
    plot(t1,a)
    plot(t1,b,'g')
    plot(t1,c,'r')
    title('TRAPECIO')
    legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
    hold off

border border

Como se puede observar en las gráficas, al ser la constante de desintegración de A (k1) muy alta y la de B (k2) más baja, la sustancia A se desintegra rápidamente, mientras la B crece hasta que su concentración es cinco veces la de A, entonces empieza a decrecer según va apareciendo C. También se ve que ambas gráficas difieren ligeramente debido a que siempre se produce un error, y en el caso del método del trapecio, este error es menor al ser un método más exacto, por lo que podría decirse que la gráfica de la derecha es más exacta.

7 ) Resolución del PVI con las Constantes Cambiadas

En este apartado, el trabajo nos pide hayar las concentraciones de las sustancias A, B y C en función del tiempo. Las concentraciones iniciales serán: A0=1, B0=0, C0=0. Las constantes de desintegración serán respectivamente k1=1 y k2=5 (al contrario que en el apartado anterior). Para ello utilizaremos los métodos de Euler y del Trapecio con un paso intermedio h=0.1 y un tiempo comprendido entre 0 y 10 años. 

% Condiciones Iniciales del PVI   

    t0=1; A0=1; B0=0; C0=0; h=0.1; 

    A(1)=A0; 
    B(1)=B0;
    C(1)=C0;

    t(1)=t0; 

    i=1; n=1; k1=1; k2=5;

% MÉTODO DE EULER

    while t<10

        A(i+1)=A(i)+h*(-k1*A(i));
        B(i+1)=B(i)+h*(k1*A(i))+h*(-k2*B(i));
        C(i+1)=C(i)+h*(k2*B(i));

        t(i+1)=t(i)+h;

        i=i+1;

    end

   
% Hacemos la gráfica
    
    figure(1)
    
    hold on
    plot(t,A)
    plot(t,B,'g')
    plot(t,C,'r')
    title('EULER')
    legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
    hold off
    
    
    
    %MÉTODO DEL TRAPECIO
   
   % Renombramos las condiciones iniciales
   
    a0=1; b0=0; c0=0;
    a(1)=a0; b(1)=b0 ;c(1)=c0;
    t1(1)=t0;

    while t1(i)<10

     a(i+1)=((2-h*k1)/(2+h*k1))*a(i);
     b(i+1)=b(i)*((2-h*k2)/(2+h*k2))+(h*k1/(2+h*k2))*(a(i)+a(i+1));
     c(i+1)=c(i)+(h*k2/2)*(b(i)+b(i+1));
    
     t1(i+1)=t1(i)+h;

     i=i+1;

    end


% Hacemos la gráfica

    figure(2)
  
    hold on
    plot(t1,a)
    plot(t1,b,'g')
    plot(t1,c,'r')
    title('TRAPECIO')
    legend('A=azul','B=verde','C=rojo')
    hold off


border border En este caso, las constantes han cambiado, por lo que A se desintegra lentamente a B. Mientras que B apenas crece puesto que su velocidad de desintegración es mucho mayor que la de A (empieza a decrecer cuando la concentración de A es cinco veces la suya). A su vez, C crece rápidamente conforme va apareciendo la sustancia B. Lo que es igual al apartado anterior es la diferencia de las gráficas siendo más aproximada la de la derecha (correspondiente al método del Trapecio).

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