Desintegración Radioactiva (G.2A)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Desintegración Radiactiva. (Grupo 5-C). |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores | Juan Raúl Ruiz Méndez (531)
Jaime Enrech Martínez (532) Jose Manuel Alonso de Caso Gilsanz (618) Guillermo Díaz de Rivera (649) Iago Rodríguez Romero (824). |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Se conoce la propensión de algunos compuestos e isótopos a transformarse en otros mas estables con el paso del tiempo, en el caso de este ejemplo, se trata del Carbono14. Partiendo de una concentración inicial de dicho compuesto inicial C14 con cierta inestabilidad frente al tiempo, sabemos que se producirá una perdida de cantidad del material conforme el tiempo aumente, llegando un punto en el que el material se haya convertido en su totalidad en estos compuestos mas estables de los que hablamos.
El Carbono14 es un isótopo presente en estado de desintegración en muestras arqueológicas, y es comúnmente utilizado para, en función del grado de disociación en el que se encuentre, fechar la muestra que lo porta.
De esta manera, sabiendo que M(t) representa la cantidad en función del tiempo, expresaremos la velocidad de desintegracion como la derivada con respecto a [math]t[/math] ;
[math]\frac{\operatorname dM(t)}{\operatorname dt} = M'(t) [/math] y la expresaremos como:
M'(t) = -k M(t)
k=1,24e^-4
Contenido
1 Datación de muestras arqueológicas
Habiéndose realizado la prueba del C14 a una muestra, se obtiene una cantidad M de este elemento de un 8% del que es natural en un ser vivo, esto es, desde el momento de la muerte del ser del que procede el resto, se ha desintegrado un 92% de la cantidad de C14 original del animal. A continuación, y conocido ya el contenido de carbono de la muestra, se procede a calcular la edad de la muestra. Es decir, el tiempo que ha tardado en desintegrarse el 92% del contenido de C14. Para ello se utiliza la ecuación diferencial ya expresada.
clear all
%Datos iniciales del problema
y0=0.08;
h=input('Introducir tamaño del paso: ');
h=-h;
t0=0;
i=1;
y(1)=y0;
t(1)=t0;
k=1.24*10^-4;
%Bucle generación vector 't' y método Euler
while y(i)<1
tN=t0+i*h;
t=t0:h:tN;
y(i+1)=y(i)+h*(-k*y(i));
i=i+1;
end
a=length(y);
y(a)
z=t(a-1);
z=-z
plot(t,y,'r')
legend('Cantidad de C14 (Método de Euler)','Location','Best')
2 Previsión de desintegración de la cantidad restante
El próximo cálculo realizado determinará cuanto tiempo tarda la muestra de C14 restante (8%) en reducirse hasta el 8% (es decir, el 0,64% del total). Para ello se utiliza el método del trapecio (Método implícito).
clear all
%Datos iniciales del problema
y0=0.08;
h=input('Introducir tamaño del paso: ');
t0=0;
i=1;
y(1)=y0;
t(1)=t0;
k=1.24*10^-4;
%Bucle generación vector 't' y método trapecio
while y(i)>0.0064
tN=t0+i*h;
t=t0:h:tN;
y(i+1)=(y(i)-(h/2)*k*y(i))/(1+(h/2)*k);
%Expresión obtenida de despejar y sub(n+1)
% de la fórmula del método del trapecio
i=i+1;
end
a=length(y);
y(a)
z=t(a-1)
plot(t,y,'r')
legend('Cantidad de C14','Location','Best')
3 Semivida
En física nuclear se conoce como periodo de semidesintegración al espacio de tiempo que se requiere para que se desintegren la mitad de los núcleos de una muestra inicial de radioisotopos. Utilizando el método de Runge-Kutta, y teniendo en cuenta que no se conoce el valor final del intervalo de tiempo (puesto que es la incognita que buscamos), se ejecuta un bucle while que se interrumpe cuando la cantidad de C14 presente en la muestra se ha reducido a la mitad
clear all
%Datos iniciales del problema
y0=1;
h=input('Introducir tamaño del paso: ');
t0=0;
i=1;
y(1)=y0;
t(1)=t0;
k=1.24*10^-4;
%Bucle generación vector 't' y método RK-4
while y(i)>0.5
tN=t0+i*h;
t=t0:h:tN;
K1=-k*y(i);
K2=-k*(y(i)+(1/2)*K1*h);
K3=-k*(y(i)+(1/2)*K2*h);
K4=-k*(y(i)+K3*h);
y(i+1)=y(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
i=i+1;
end
a=length(y);
y(a)
z=t(a-1);
z
plot(t,y,'r')
legend('Cantidad de C14','Location','Best')
4 Descomposición Compuesta
4.1 euler
INSERTAR SISTEMA
%Datos iniciales
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
y0=[1;0];
%Generación del vector de tiempo 't' e 'y'
t=t0:h:tN;
y=zeros(2,N+1);
y(:,1)=y0;
c(1)=0;
A=[-5 0;5 -2]; %Matriz de coeficientes del sistema
%Bucle Euler
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));
c(i+1)=1-y(1,i)-y(2,i);
end
plot(t,y(1,:))
hold on
plot(t,y(2,:),'r')
plot(t,c,'g')
legend('[A]','[B]','[C]','location','best')
4.2 trapecio
MAS COSAS
%Datos iniciales
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
y0=[1;0];
%Generación del vector de tiempo 't' e 'y'
t=t0:h:tN;
y=zeros(2,N+1);
y(:,1)=y0;
c(1)=0;
A=[-5 0;5 -2]; %Matriz de coeficientes del sistema
%Bucle trapecio
for i=1:N
Z=eye(2)-(h/2)*A;
y(:,i+1)=inv(Z)*(y(:,i)+(h/2)*A*y(:,i));
c(i+1)=1-y(1,i)-y(2,i);
end
plot(t,y(1,:))
hold on
plot(t,y(2,:),'r')
plot(t,c,'g')
legend('[A]','[B]','[C]','location','best')
5 Cambio de las k1 y k2
5.1 euler
MAS COSAS
%Datos iniciales
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
y0=[1;0];
%Generación del vector de tiempo 't' e 'y'
t=t0:h:tN;
y=zeros(2,N+1);
y(:,1)=y0;
c(1)=0;
A=[-2 0;2 -5]; %Matriz de coeficientes del sistema
%Bucle Euler
for i=1:N
y(:,i+1)=y(:,i)+h*(A*y(:,i));
c(i+1)=1-y(1,i)-y(2,i);
end
plot(t,y(1,:))
hold on
plot(t,y(2,:),'r')
plot(t,c,'g')
legend('[A]','[B]','[C]','location','best')
5.2 trapecio
MAS COSAS
%Datos iniciales
t0=0;
tN=10;
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h);
y0=[1;0];
%Generación del vector de tiempo 't' e 'y'
t=t0:h:tN;
y=zeros(2,N+1);
y(:,1)=y0;
c(1)=0;
A=[-2 0;2 -5]; %Matriz de coeficientes del sistema
%Bucle trapecio
for i=1:N
Z=eye(2)-(h/2)*A;
y(:,i+1)=inv(Z)*(y(:,i)+(h/2)*A*y(:,i));
c(i+1)=1-y(1,i)-y(2,i);
end
plot(t,y(1,:))
hold on
plot(t,y(2,:),'r')
plot(t,c,'g')
legend('[A]','[B]','[C]','location','best')
