Reacciones con autocatálisis 4-C

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Visualizaci´on de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 4-C
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Ignacio Mollá Carcaño, Jorge Javier Rodríguez Anzules, Claudia Jalón Manzano, Pablo Revuelta Aragón, Pedro Torrecilla Sánchez, Alejandro Martínez Gamonal
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introdución:Reacción bimolecular: A+B[math]\longrightarrow[/math] C

Tenemos una reacción autocatalítica bimolecular irreversible que ocurre a una presión y temperatura concretas. Esto implica que la constante k que rige la reacción permanecerá constante. Autocatalítica implica que A se va transformando en B para dar lugar a B. Bimolecular significa que una molecula de A con una de B producirán dos de B.

[math]A+B \longrightarrow C [/math].

Esta reacción obviamente cumplirá el principio de conservación de la masa, es decir, la suma de las masas de los reactivos deberá ser igual a la de los productos, o dicho de otra forma, la velocidad de destrucción es igual a la de creación. Además sabemos que la velocidad de reacción es igual al producto de los reactivos multiplicado por la constante cinética.

[math] X_{0}=1 mol/l[/math] e [math]Y_{0} =0.01 mol/l[/math] ,siendo [math]Y=B[/math] , [math]X=A [/math] y [math] K=1 [/math] La ley de acción de masas nos dará la siguiente ecuación:

[math] y'(t)=kx(t)y(t)[/math] 

De la ley de la conservación de la masa obtenemos la siguiente ecuación:

[math] y'(t)+x'(t)=0[/math]

Integrando esta última ecuación, sustituyendo el valor de x(t) en la ecuación de la acción de masas y con la concentración inicial del producto B obtenemos el siguiente PVI:

[math] \begin{cases} y'(t)=y(t)(1.01-y(t))\\y_{0} =0.01 mol/l\end{cases} [/math]                                                                                                                                  

Para estudiar la existencia e unicidad de nuestro PVI habrá que estudiar la intersección de una bola centrada en el punto (0,0.01) con el dominio, que al ser un polinomio es todo R2. En esa bola intesección con el dominio nuestra función es continua, lo que implica que tendrá solución. Su derivada también es continua en el intervalo nombrado por lo que tendrá una única solución.

2 Resolución del P.V.I mediante los métodos numéricos: Euler, trapecio y Rounge-Kutta

En este apartado resolveremos el PVI mediante diferentes métodos numéricos y compararemos en una gráfica los errores cometidos entre ellos y con la solución exacta que hemos obtenido mediante bernoulli y con un cambio de variable.

figure1

clear all
clf
clc
%Trabajo 2: Reacciones con autocatálisis

%Datos
h=0.1;
t0=0;
y0=0.01;
x0=1;
tN=10;

%Calculamos los vectores(Apartados 2 y 3)
t=t0:h:tN;          % vector de tiempos
N=(tN-t0)/h;
y=zeros(1,length(t)); %vector de concentración de B según euler
x=zeros(1,length(t)); %vector de concentración de A según euler
z=zeros(1,length(t)); %vector de concentración de B según trapecio
r=zeros(1,length(t)); %vector de concentración de B según rounge-kutta
e=zeros(1,length(t)); %vector de concentración de B exacto
y(1)=y0;
x(1)=1;
z(1)=y0;
r(1)=y0;

for i= 1:N;
    %Euler
    y(i+1)=y(i)+h*(y(i)*(1.01-y(i)));
    x(i)=1.01-y(i);
    %Trapecio
    z(i+1)=((1.01*(h/2)-1)+sqrt((1-1.01*(h/2))^2-2*h*((h/2)*(z(i)^2)-(1+1.01*(h/2))*z(i))))/h;
    %Rounge-kutta
    K1=r(i)*(1.01-r(i));
    K2=(r(i)+1/2*K1*h)*(1.01-(r(i)+1/2*K1*h));
    K3=(r(i)+1/2*K2*h)*(1.01-(r(i)+1/2*K2*h));
    K4=(r(i)+(K3*h))*(1.01-r(i)+(K3*h));
    r(i+1)=r(i)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
    


end

figure(1)
hold on
plot(t,y);
plot(t,x,'r');
xlabel('tiempo(s)'); ylabel('concentración(mol/l)');
legend('Elemento B','Elemento A','Location','best');
title('Gráfico de las concentraciones de A y B');
hold off

figure(2)
hold on
plot(t,y,'b') %euler
plot(t,z,'g') %trapecio
plot(t,r,'k') %rounge-kutta
plot(t,e,'r') %exacta
xlabel('tiempo(s)'); ylabel('concentración de B(mol/l)');
legend('Euler','Trapecio','Rounge-kutta','Exacta','Location','best');
title('Gráfico de la concentración de B según los diferentes métodos')
hold off

figure2

Zoom figure2

Interpretación: Observamos que el método más exacto es el del trapecio porque es un método ímplicito.

3 Resolución del P.V.I mediante un sistema de ecuaciones por los métodos numéricos: Euler y Rounge-Kutta

%Por sistemas de ecuaciones (Apartado 4)

xx=zeros(1,length(t));  %vector de concentración de A según euler
yy=zeros(1,length(t));  %vector de concentración de B según euler
ra=zeros(1,length(t));  %vector de concentración de A según rounge-kutta
rb=zeros(1,length(t));  %vector de concentración de B según rounge-kutta
xx(1)=x0;
yy(1)=y0;
ra(1)=x0;
rb(1)=y0;

for i=1:N
    %Sistema con Euler
    xx(i+1)=xx(i)-h.*(xx(i).*yy(i));
    yy(i+1)=yy(i)+h.*(xx(i).*yy(i));
    %Sistema con Rounge-kutta de orden 4
    K1a=-1*ra(i)*rb(i);
    K1b=1*ra(i)*rb(i);
    K2a=-1*(ra(i)+1/2*K1a*h)*(rb(i));
    K2b=1*(rb(i)+1/2*K1b*h)*(ra(i));
    K3a=-1*(ra(i)+1/2*K2a*h)*(rb(i));
    K3b=1*(rb(i)+1/2*K2b*h)*(ra(i));
    K4a=-1*(ra(i)+K3a*h)*(rb(i));
    K4b=1*(rb(i)+K3b*h)*(ra(i));
    ra(i+1)=ra(i)+(h/6)*(K1a+2*K2a+2*K3a+K4a);
    rb(i+1)=rb(i)+(h/6)*(K1b+2*K2b+2*K3b+K4b);
end

figure (4)
hold on
plot(t,xx,'b')
plot(t,yy,'r')
plot(t,ra,'g')
plot(t,rb,'k')
xlabel('tiempo(s)'); ylabel('concentración(mol/l)');
legend('Concentracion de A con Euler','Concentracion de B con Euler','Concentración de A con Rounge-kutta','Concentración de B con Rounge-kutta','Location','best');
hold off

figure4

4 Reacción consecutiva de Lokta

Ahora tenemos una nueva situación con tres reacciones. Las dos primeras son autocatalíticas y por lo tanto actúan como la estudiada anteriormente. La reacción total consume A para producir B, mientras que X e Y intervendrán en la velocidad y la cantidad de cada producto en los procesos intermedios.

Las siguientes ecuaciones provienen también de la ley de conservación de masas y de la ley de acción de masas, pero en este caso influyen unas sobre otras. De la ley de conservación de la masa sabemos que la masa conjunta de todos nuestros compuestos será constante, por lo que derivando obtendremos:

[math] A'(t)+y'(t)+x'(t)+B'(t)=0[/math]

De la ley de acción de masas obtenemos las otras tres. Pensando de atrás alante la cantidad que se forme de B sera proporcional a la de Y, con la constante k3. Sin embargo, la cantidad de Y vendrá dada por la suma de lo que se forme, es decir, proporcional a las concentraciones de X*Y pero habrá que restarle lo que se consume para formar B. De igual manera la cantidad de X nos viene dada por una parte por lo que se crea en la primera ecuación menos lo que se consume en la segunda, todo ello con sus correspondientes porporciones dadas por los valores de las k_{i}.

[math] x'(t)=k_{1}x(t)A(t)-k_{2}x(t)y(t)[/math] [math] y'(t)=k_{2}x(t)y(t)-k_{3}y(t)[/math] [math] B'(t)=k_{3}y(t)[/math]

Para nuestro PVI utilizaremos un intervalo de tiempo de entre 0 y 200 segundos y con [math]k_{1}=k_{2}=2k_{3}=0.1[/math] y las concentraciones de A,x,y,B serán: [math]A_{0}=5, x_{0}=5*10-4, y_{0}=10-5 B_{0}=0[/math]

Utilizaremos el método de Euler con h= 0.01 y h=0.001; y posteriormente el método de Heun con h=0.01.