Modelos epidemiológicos. Grupo C14
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Modelos epidemiológicos. Grupo C14 |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2014-15 |
| Autores | Palacios Pintor, Pedro
Pontiveros Bermejo, Diego Reinoso Muñoz, Cristina Rojas Arranz, Almudena Torre Prado, Yago de la Vidal Sánchez, Nieves |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
En esta página discutiremos y analizaremos un modelo epidemiológico mediante métodos de cálculo numérico.
El modelo se basa en las siguientes hipótesis:
- El número de personas infectadas sólo se altera por el fallecimiento o cura de éstas, y se ve afectada por el número de contagios entre la población de riesgo.
- La tasa de individuos que pasan de la población de riesgo a estar infectados es proporcional a la interacción entre el número de individuos entre ambas clases.
Contenido
1 . INTERPRETACIÓN DEL MODELO
Matemáticamente el modelo viene definido por las siguientes ecuaciones:
[math] \left\{\begin{matrix} \frac{dS}{dt}=-aSI\\ \frac{dI}{dt}=aSI-bI-cI \end{matrix}\right. [/math]
Donde:
-La función [math] S [/math] indica la cantidad de personas en riesgo de ser infectadas e [math] I [/math] el número de individuos que ya han contraído la enfermedad.
- El valor de [math] a [/math] es un coeficiente relacionado con la probabilidad de contagio cuando se juntan individuos de la población de riesgo con la de infectados. El coeficiente [math] b [/math] es el porcentaje de infectados que sanan en una unidad de tiempo, en este caso días, y el [math] c [/math] el porcentaje de infectados que fallece cada día.
2 . CASO DE POBLACIÓN DE RIESGO CONSTANTE
Conocido el dato de población de riesgo y siendo éste constante,el problema queda simplificado a una única ecuación diferencial lineal y de coeficientes constantes.
Para resolver dicha ecuación, se han utilizado los métodos de Euler y trapecio, dados los siguientes datos iniciales:
[math] \left\{\begin{matrix}
I_{0}=2000\\
a=0.003\\
b=0.3\\
c=0.01
\end{matrix}\right.[/math]
Éste es el programa que resuelve la ecuación mediante el método de Euler:
programa
Esta última parte del programa calcula el tiempo que tarde en reducirse en número de infectados a la cuarta parte por el método de Euler.
programa tiempo
Y éste el que lo resuelve por el método del trapecio:
programa
Por este método también podemos saber el tiempo que tarda en reducirse a la cuarta parte.
programa tiempo
2.1 . [math] S=0 [/math]
Debido a que la ecuación lineal es de coeficientes constantes, es sencillo obtener la solución de manera analítica, resultando:
[math] I=2000e^{-0.31t}[/math]
imagen
Para [math] S=0 [/math] el tiempo que tarda en reducirse el número de infectados a la cuarta parte es
2.2 . [math] S=100 [/math]
Resuelto analíticamente: [math] I=2000e^{-0.01t}[/math]
imagen
Para [math] S=100 [/math] el tiempo es
2.3 . [math] S=200 [/math]
Al resolver la ecuación de manera analítica [math] I=2000e^{0.29t}[/math]
Podemos demostrar que a partir de [math] S\geq 104 [/math] la evolución de los infectados crecerá exponencialmente.
[math]\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}= aSI-bI-cI[/math]
Sustituyendo en dicha ecuación los valores iniciales,
[math]\frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}= 0.003SI-0.3I-0.01I[/math]
La ecuación anterior alcanza su punto crítico aproximadamente en [math] S=104 [/math] . imagen
Análogamente para [math] S=200 [/math] el tiempo es
3 . ANÁLISIS DEL SISTEMA POR EL MÉTODO DE EULER
Para este análisis, consideramos el modelo completo, teniendo en cuenta ambas ecuaciones del sistema y utilizando los siguientes datos:
[math]\left\{\begin{matrix}
a=0.003\\
b=0.3\\
c=0.01\\
t\epsilon [0,40]
\end{matrix}\right.[/math]
Además, se han analizado distintas soluciones a partir de la variación del paso: [math]h=10^{-1}, h=10^{-2}, h=10^{-3}, h=10^{-4}[/math]
Éste ha sido el programa utilizado:
Insertar programa
3.1 . [math] (S_{0},I_{0})=(800,20) [/math]
Insertar gráficas para las distintas h
El programa además, devuelve el valor máximo de enfermos esperados, que para estos datos será [math]?[/math] y el momento en el que ésto ocurrirá [math]?[/math].
3.2 . [math] (S_{0},I_{0})=(10000,40) [/math]
Insertar gráficas para las distintas h Se puede observar, que a partir del paso [math]h=?[/math], el resultado obtenido por la gráfica es ilógico.
4 . ANÁLISIS DEL SISTEMA POR RUNGE-KUTTA
5 . ANÁLISIS DEL SISTEMA CON PARÁMETRO [math] a [/math] VARIABLE
[math] a(t)=\frac{0.003}{1+t} [/math]
