Logística con umbral

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Logística con umbral. Grupo 24-C
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Jose Antonio Martinez Montalvo 1494 Jorge Sempere Ruíz 4 Isaac Rebollo Palos 1522 Marta Orellana Jimenez 309 Rodrigo Bellot Rodriguez 1270
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Objetivos y metodología

El objetivo del trabajo es el estudio de dos problemas poblacionales independientes.

En el primero de ellos trataremos la resolución de una ecuación logística clásica que modeliza una especie de individuos y su dependencia con el medio, lo que se traduce en un problema de valor inicial. Trataremos de resolverlo mediante distintos metodos numericos (Euler, Heun y Runge-Kutta) a la vez que le daremos un sentido tanto numérico como poblacional.

En el segundo analizaremos la evolución de dos especies que ocupan un mismo ecosistema, que actuaran como competidores en el uso de los recursos. Esta situacion sera la equivalente a un sistema de ecuaciones no lineal denominado modelo de competencia y para distintos valores de sus constantes analizaremos el tipo de relacion entre las especies (neutralismo, parasitismo...) asi como algunas propiedades que se pueden derivar de la misma.

2 Dinámica de población dependiente del medio

2.1 Introducción

Considerando el problema del valor inicial; [math] \left\{\begin{matrix} y'=-ry(1-\frac{y}{M1})(1-\frac{y}{M2})\\y=y0 \end{matrix}\right. [/math] nos dispondremos a desarrollar y exponer la resolución del problema, la interpretción de los resultados obtenidos, complementando todo esto con sus gráficas correspondientes para facilitar su entendimiento.

2.2 Resolución

Representación gráfica del dominio de las funciones (MATLAB)

Para la resolución general utilizaremos un numero de individuos iniciales igual a 60 (y0=60).

% f(t,y)= -r*yy*(1-yy/m1)*(1-yy/m2)

clf

% Datos
r=0.04;
m1=30;
m2=100;
y0=60;

% Discretizacion tiempo
t0=0;
tf=100;
hh=[1 0.1 0.01];
h=hh(1); 
% Cambiando entre 1,2 y 3 elegimos el paso de tiempo que queremos.
% Cuidado que con 0,01 es probable que se cuelgue el ordenador.
N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;

% Vector Euler
y=zeros(N+1);
yy=y0;
y(1)=yy;

% Vector Heun
he=zeros(N+1);
hh=y0;
he(1)=hh;

% Vector RK4
rk=zeros(N+1);
rr=y0;
rk(1)=rr;

for k=1:N
% Euler
yy=yy+h*(-r*yy*(1-yy/m1)*(1-yy/m2));
y(k+1)=yy;
% Heun
k1=-r*hh*(1-hh/m1)*(1-hh/m2);
k2=-r*(hh+k1*h)*(1-(hh+k1*h)/m1)*(1-(hh+k1*h)/m2);
hh=hh+0.5*h*(k1+k2);
he(k+1)=hh;
% RK4
% Calculamos k1=f(tn,yn) 
k1=-r*rr*(1-rr/m1)*(1-rr/m2);
% Calculamos k2=f(tn+h/2,yn+1/2*h*k1) % Cambiar yy por (yy+0.5*h*k1)
k2=-r*(rr+1/2*h*k1)*(1-(rr+1/2*h*k1)/m1)*(1-(rr+1/2*h*k1)/m2); % Poniendo "(yy+1/2*h*k1)" en vez de yy
% Calculamos k3=f(tn+h/2,yn+1/2*h*k2) % Cambiar yy por (yy+0.5*h*k2)
k3=-r*(rr+1/2*h*k2)*(1-(rr+1/2*h*k2)/m1)*(1-(rr+1/2*h*k2)/m2); % Poniendo "(yy+1/2*h*k2)" en vez de yy
% Calculamos k4=f(tn+h,yn+h*k3) % Cambiar yy por (yy+h*k3)
k4=-r*(rr+h*k3)*(1-(rr+h*k3)/m1)*(1-(rr+h*k3)/m2); % Poniendo "(yy+h*k3)" en vez de yy
% Meto los datos en el vector
rr=rr+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);
rk(k+1)=rr;
end

hold on

plot(t,y);
plot(t,he,'r');
plot(t,rk,'g');
legend('Euler','Heun','RK4')

grid minor;
xlabel('Tiempo');
ylabel('Poblacion R');

2.3 Interpretación

2.3.1 General

2.3.1.1 Numérica

Todos los métodos dividen el dominio del tiempo en pequeños segmentos h= ∆t y aproximan la solución de la función para el extremo de cada segmento. Al hacer esto surgen tres posibles problemas: la obtención del comienzo de integración, la velocidad de cálculo y los errores generados.

La solución de las Ecuaciones diferenciales por medio de métodos numéricos involucra varios tipos de errores:

-Error del Método: por la aproximación de una curva mediante una línea recta.

-Local: Es la diferencia que se produce entre el valor real de la función y el aproximado mediante la recta tangente.

-Propagado: Acumulación de errores por las aproximaciones.

-Redondeo/Truncamiento: Resultado del número límite de cifras significativas que puede retener una computadora.

Analizando los tres casos empleados en los cálculos;

El método de Euler se encarga de aproximar la curva y=F(x) por medio de una serie de segmentos en recta.

Debido a que la aproximación de una curva por medio de una línea recta no es exacta, se comete un error derivado del método que se puede disminuir reduciendo el valor de h, pero se obtendrá un mayor número de cálculos y, por consiguiente, un error de redondeo mucho más alto.

Otra fuente fundamental de error en el método de Euler se debe a que la derivada al principio del intervalo se aplica a través del intervalo entero.

Existe una sencilla modificación que ayudan a evitar este inconveniente dando lugar al método de Heun.

La mejora del método consiste en la aproximación a la pendiente mediante la aplicación de dos derivadas del intervalo, una en el punto inicial y otra en el final. La aproximación mejorada de la pendiente será el promedio de las dos derivadas.

Los métodos más sencillos como el de Euler o las mejoras de este procedimiento, tienen dos defectos esenciales: la pequeña precisión del cálculo y el crecimiento sitemático de los errores.

El procedimiento de Runge-Kutta es el que mayor precisión presenta debido a la su exactitud relativamente elevada de la solución aproximada de la ecuación diferencial.

Todo lo expuesto anteriormente queda corroborado en la gráfica adjuntada, donde puede observarse la variaciones de precisión entre los distintos métodos en la representación de las distintas soluciones.

Sin embargo, esta no es más que una ampliación de la gráfica dispuesta al inicio del trabajo, en la cual se puede comprobar que, en el caso de que la exigencia en la precisión de los cálculos no sea notoria, cualquiera de los métodos empleados, a grandes rasgos, darán resultados muy similares.

2.3.1.2 Poblacional

En términos de dinámica de poblaciones la ecuación diferencial modeliza una población limitada en 100 individuos, condicionada por distintos factores del medio siendo el más limitativo del crecimiento poblacional la falta de recursos en el ecosistema donde se estudia la población. En el estudio desarrollado a continuación se parte de la base de que con poblaciones inferiores a cierto valor (30 en nuestro caso) estas serán incapaces de adaptarse al medio y prosperar, decreciendo la población de forma continuada hasta la desaparición total de esta. Interpretamos, en función de los valores dados, que a partir de 30 componentes estas agrupaciones son capaces de diversificar las funciones desarrolladas en el grupo siendo suficientes para que estas permitan el desarrollo del grupo. En el caso limite, consideraríamos que de la totalidad de los individuos se repartiría en funciones esenciales, como la obtención de alimento y la defensa del grupo, lo que permitiría un crecimiento poblacional moderado. Sin embargo, para comunidades mayores la diversificación de tareas, o bien, desarrollándose las mismas de forma más eficiente o pudiendo llegar a surgir otras, y mientras el factor limitativo de los recursos del medio lo permita, el crecimiento será superior al de poblaciones menores en los valores iniciales . Lo expuesto previamente se cumple hasta valores muy cercanos al límite de individuos en ese espacio, no obstante, en zonas cercanas al valor máximo de individuos de este estudio la pendiente en el crecimiento se ve disminuida dando lugar a un crecimiento más lento de los experimentados previamente. Pudiera interpretarse como que, dado que los recursos empiezan a ser insuficientes, la competencia por ellos se verá incrementada dificultando en mayor medida el desarrollo del censo poblacional.

2.3.2 Casos Particulares

Para un número inicial de individuos igual a 20

Acorde con lo ya explicado, al no superar el número límite de individuos que permitan el desarrollo de la población,esta decrecerá hasta extinguirse.

Para un número inicial de individuos igual a 120

Como ya expusimos, al superar el número de individuos de la población el máximo permitido por el medio, estos desaparecerán hasta alcanzar el valor sostenible del medio.

3 Dinámica de población condicionada por otra especie

3.1 Introducción

[math] \left\{\begin{matrix} x'=a1x+b1x^2+c1xy\\y'=a2y+b2y^2+c2xy \end{matrix}\right. [/math]

3.3 Casos Particulares

3.3.1 Parasitismo

figure2

Zoom figure2

3.3.2 Neutralismo

3.3.3 Simbiosis

3.3.4 Competición

3.3.5 Amensalismo

3.3.6 Comensalismo