Explotación minera (Grupo 5C)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Explotación minera
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	• Jaume Martorell Cerdá • Miguel Angel Serrano Leo • Carla Vázquez Gómara • Pablo Alonso Medina • Joaquín Sánchez Molina • Fernando Millán Cobo
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

• El problema nos pide el análisis de la explotación de un yacimiento de mineral. Dicha explotación sigue un modelo logístico de Gompertz, cuya ecuación tiene la siguiente forma:
  

[math] {dQ \over dt}=rQlog ({K \over Q}) [/math]

donde Q(t) es la cantidad de mineral extraído, K la cantidad total extraíble y r la tasa intrínseca de crecimiento.

• En nuestro caso, sabemos que la extracción de mineral tendrá un crecimiento muy rápido de producción durante los primeros 25 años, momento a partir del cual descenderá lentamente debido a diversos factores. Además de esto, conocemos la cantidad total extraíble del yacimiento, por lo que nuestra ecuación inicial quedará de la siguiente forma:
  

[math] {dQ \over dt}=rQlog ({10875 \over Q}) [/math]

2 Relación entre cantidad y producción

Mediante las siguientes gráficas, se demuestra que la relación entre Q y P es la siguiente:

[math] {dQ \over dt}= P [/math]

o lo que es lo mismo: P=Q'

4 Modelo de Verhlust: Valor de la tasa de crecimiento (r) y resolución de la función de producción

• Partimos de los siguientes datos iniciales:

K= 10875 toneladas

• La ecuación del modelo de Verhlust es:

[ECUACION]

• Condición:

P(t=25 años)= 240 t/año [math] \rightarrow \ltmath\gt P(25)=240 \ltmath\gt \rightarrow \ltmath\gt Q'(25)=240\ltbr /\gt * Resolución: El enunciado dice que la producción es máxima a los 25 años, por lo que si Q' tiene un máximo en un punto, Q"=0 en dicho punto.\ltbr /\gt Derivamos la ecuación inicial del modelo y la igualamos con la condición que hemos obtenido anteriormente.\ltbr /\gt [ECUACION] Despejando esta ecuación llegamos a que Q(25 años)= 5437,5 t.\ltbr /\gt Conociendo Q(25) podemos despejar "r" de nuestro problema: [CORCHETE CON LOS 2 DATOS INICIALES] [ECUACION] Así obtenemos r=0,088276 De esta forma, nuestra ecuación del modelo de Verhlust quedará de la siguiente forma: [ECUACION] Y como sabemos que P=Q', la ecuación de P(t) es la siguiente: [ECUACION] ==Problema de valor inicial utilizando distintos métodos== ===Método de Euler=== ===Método de Runge-Kutta=== ===Método de Heun===[/math]