Reacciones con Autocatálisis (A5)

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Trabajo realizado por estudiantes
Título Reacciones con Autocatálisis. Grupo 5A
Asignatura Ecuaciones Diferenciales
Curso Curso 2014-15
Autores Javier Blanco Villarroel
Marta Cavero Guillén
Alba Bringas Gil
Irene Bendala Sugrañes
Paula Botella Andreu
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura



1 Introducción

Se considera una reacción química irreversible en una solución bien mezclada. Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes. Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,

A + B → C.

Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. En este ejercicio analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular, A + B →(k1) 2B, en la que B hace al mismo tiempo papel de reactivo y producto. Se pide:

2 Apartados 1 2 y 3

Consideraremos una reacción química irreversible en una solución bien mezclada.
Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes.
Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,


[math] A + B \rightarrow C [/math]

Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. En nuestro caso analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular


[math] A + B \rightarrow k . 2B [/math]

en la que B hace al mismo tiempo papel de reactivo y producto.


Llamaremos:

[math] x= A+B[/math]
[math] y= 2B[/math]


Despejando el sistema obtenemos que:

[math] B=\frac{y}{2}[/math]
[math] A=x-\frac{y}{2}[/math]


A partir del principio de conservación de masas sabemos que [math] x+y= cte [/math] por lo que [math] x'+ y' = 0[/math] , quedando demostrada la primera ecuación.

A partir de la ley de acción de masas obtenemos que la velocidad de reacción [math] v= k.A.B[/math] y además sabemos que [math]v= y' = -x'[/math]
Del sistema anterior obtenemos que [math] AB=\frac{y}{2}. (x-\frac{y}{2})[/math], sustituyendo:


[math]y' = k.\frac{y}{2}.(x-\frac{y}{2}) [/math] y como [math] x=cte-y[/math] podemos decir que [math]y' = k.\frac{y}{2}.(cte-y-\frac{y}{2}) [/math]


[math]\frac{k}{2} = k[/math] puesto que es una constante.


Seguimos despejando [math] y'=k.y(\frac{2}{3}cte-y) = k.y(cte-y) \rightarrow y'= k.x.y [/math]


Integrando la primera ecuación y sustituyendo el valor de x(t) en la segunda, obtenemos que [math] y'=-k.y²[/math] por lo que el PVI asociado será:

  • [math] y'=-k.y²[/math]
  • [math] y(x₀)= y₀[/math]


Para que tenga una solución única f(x,y) tiene que ser continua en (x0,y0) [math] \rightarrow [/math]Punto de condición inicial.
Además [math] \frac{\partial f}{\partial f} (x,y)[/math] tiene que ser continua en (x0,y0).


Como [math] \frac{\partial f}{\partial f}(x,y) = -2kyy' \rightarrow [/math] Es continua para todo valor (x0,y0).
Y [math]f(x,y)= -k.y²[/math] también lo es para todo valor (x0,y0), podemos afirmar que tiene una solución única.


Suponiendo que las concentraciones iniciales de A y B son [math]1\frac{mol}{l}[/math] y [math]0,01\frac{mol}{l}[/math] respectivamente, y [math]k=1\frac{mol}{l}[/math], resolvemos el PVI por el método de Euler, eligiendo un paso h = 0,1, en los primeros 10 segundos.


Gráficaque relaciona la concentración y el tiempo hecha mediante el método de Euler.
%Ejercicio 2.2 Euler
t0=0
tn=10
n=100
h=(tn-t0)/n;
t=t0:h:tn;

y0=1
y=zeros(1,n+1);
y(1)=y0;
yy=y0;

k=1

x0=0.01
x=zeros(1,n+1);
x(1)=x0;
xx=x0;

for i=1:n
   yy=yy+h*(-k*xx.*yy);
   xx=xx+h*k*(xx.*yy);
   y(i+1)=yy;
   x(i+1)=xx;
   end

plot(t,y,'g','linewidth',2) 
title('Concentración - Tiempo','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
legend('Concentración de B','Concentración de A','location','east')



Ahora lo resolveremos por el método del trapecio:


Gráfica que relaciona la concentración y el tiempo hecha mediante el método del trapecio.
%Ejercicio 2.3 trapecio
t0=0
tn=10
n=100
h=(tn-t0)/n;
t=t0:h:tn;

y0=1
y=zeros(1,n+1);
y(1)=y0;
yy=y0;

k=1

x0=0.01;
x=zeros(1,n+1);
x(1)=x0;
xx=x0;

for i=1:n
   yy=(((2*yy)/(-k*h))+xx.*yy)/((-2/(k*h))+(-k*xx));
   xx=(((2*xx)/(k*h))+xx.*yy)/((2/(k*h))-(k*yy));
   y(i+1)=yy;
   x(i+1)=xx;
   end

plot(t,x,'k','linewidth',2)
hold on
plot(t,y,'c','linewidth',2) 

title('Concentración - Tiempo (Trapecio)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
legend('Concentración de B','Concentración de A','location','best'


Y por último por el método de Runge-Kutta:


Gráfica que relaciona la concentración y el tiempo hecha mediante el método de Runge-Kutta.
%Ejercicio 2.3 Runge Kutta
t0=0
tn=10
n=100
h=(tn-t0)/n;
t=t0:h:tn;

y0=1
y=zeros(1,n+1);
y(1)=y0;
yy=y0;

k=1

x0=0.01
x=zeros(1,n+1);
x(1)=x0;
xx=x0;

for i =1:n

 k1A=(-k*xx.*yy);
 k1B=(k*xx.*yy);
 y1=yy+h*k1A/2;
 x1=xx+h*k1B/2
 
 k2A=(-k*x1.*y1);
 k2B=(k*x1.*y1);
 y2=yy+h*k2A/2;
 x2=xx+h*k2B/2;
 
 k3A=(-k*x2.*y2);
 k3B=(k*x2.*y2);
 y3=yy+h*k3A/2;
 x3=xx+h*k3B/2;
 
 k4A=(-k*x3.*y3);
 k4B=(k*x3.*y3);
 
 yy=yy+((h/6)*(k1A+2*k2A+2*k3A+k4A));
 xx=xx+((h/6)*(k1B+2*k2B+2*k3B+k4B));
 y(i+1)=yy;
 x(i+1)=xx;
 end

figure(1)   
plot(t,x,'y','linewidth',2)
hold on
plot(t,y,'m','linewidth',2) 

title('Concentración - Tiempo (Runge-Kutta)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
legend('Concentración de B','Concentración de A','location','best')


(interpretación de las gráficas)


3 Apartado 4

En este apartado resolveremos el problema anterior tratándolo como un sistema de dos variables. Para ello emplearemos los métodos de Euler y Runge-Kutta.

Gráfica que relaciona relaciona la variación de la concentración de los dos compuestos de la mezcla con el tiempo.


t0=0; tf=10;
w0=[1;0.01];
h=0.1; N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;
w=zeros(2,N+1); %las filas es el número de  incógnitas en el sistema
w(:,1)=w0;
ww=w0;

%Euler

for n=1:N
    
    F=[-1*ww(1)*ww(2);1*ww(1)*ww(2)];
    
    ww=ww+h*F;
    w(:,n+1)=ww;
end

subplot(1,2,1)
plot(t,w,'*'); %MATLAB dibuja una grágica para cada columna, NO poner color para que nos ponga cada una de un colo
legend('Concentración de A','Concentración de B', 'location','best')
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Euler)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 10);

%Runge Kutta

z0=[1;0.01]; %para volver a empezar
z=zeros(2,N+1); %las filas es el número de  incógnitas en el sistema
z(:,1)=z0;
zz=z0;

for n=1:N
    
    F=[-1*zz(1)*zz(2);1*zz(1)*zz(2)];
     
    k1=F;
    
    z1=F+(1/2)*k1*h;
    k2=z1;
    
    z2=F+(1/2)*k2*h;
    k3=z2;
    
    z3=F+k3*h;
    k4=z3;
    
    zz=zz+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
    z(:,n+1)=zz;

end

subplot(1,2,2)
plot(t,z,'o')
legend('Concentración de A','Concentración de B', 'location','best')
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Runge-Kutta)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 10);



En esta reacción biomolecular, tenemos inicialmente A en concentración 1 mol/l y B en concentración 0.1 mol/l, en ella B actúa como catalizador, lo que implica que a medida que su concentración va aumentando, la velocidad de la reacción aumenta de manera exponencial; esto se aprecia en la pendiente de las curvas de ambos reactivos, las cuales, al ser la representación de la derivada de las concentraciones, nos indican cómo de rápido varían dichas concentraciones (la velocidad con la que varían), esta pendientes son inicialmente prácticamente horizontales, y van aumentando a medida que se forma B.

También cabe destacar que las pendiente de las curvas de las concentraciones de A y B son iguales pero de sentido contrario para cada instante, lo cual nos indica que la velocidad con la que se pierde A es la misma con la que se genera B. Por otro parte, esto le da el carácter simétrico a la gráfica, ya que, teniendo en cuenta la ley de concentración de masas, todo lo que desaparece de A se "transforma" en B.

La máxima velocidad de la reacción se alcanzará a los cinco segundos del inicio de la reacción, instante en el que las concentraciones de A y B son iguales; a partir de ese momento la velocidad de la reacción empieza a disminuir, es decir, la pendiente de las curvas de las concentraciones se va acercando a la horizontal, haciéndose nula en el instante en que la concentración de A ha desaparecido por completo (a los diez segundo de iniciarse la reacción), momento en el que obtenemos la concentración final de B (1 mol/l), siendo este el final de la reacción autocatalítica.

4 Apartado 6

best
t0=0; 
tf=200;
h=0.01; 
N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;
A0=5; 
X0=5*(10^-4); 
Y0=10^(-5); 
B0=0;

A=zeros(1,N+1); 
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

A(1)=A0; 
X(1)=X0; 
Y(1)=Y0; 
B(1)=B0;


K1=0.1; K2=K1; K3=K1/2;

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h*(K1*A(i)*X(i)-K2*X(i)*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h*(K2*X(i)*Y(i)-K3*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h*(K3*Y(i));
A(i+1)= A(i)+h*(-K1*A(i)*X(i));
end

hold on
plot(t,A,'-r'); 
plot(t,X,'-g');
plot(t,Y,'-y');
plot(t,B,'-');
hold off

xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Euler)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
legend('Concentración de A','Concentración de X', 'Concentración de Y', 'Concentración de B', 'location','east')
t0=0; 
tf=200;
h=0.001; 
N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;
A0=5; 
X0=5*(10^-4); 
Y0=10^(-5); 
B0=0;

A=zeros(1,N+1); 
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

A(1)=A0; 
X(1)=X0; 
Y(1)=Y0; 
B(1)=B0;


K1=0.1; K2=K1; K3=K1/2;

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h*(K1*A(i)*X(i)-K2*X(i)*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h*(K2*X(i)*Y(i)-K3*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h*(K3*Y(i));
A(i+1)= A(i)+h*(-K1*A(i)*X(i));
end

hold on
plot(t,A,'-r'); 
plot(t,X,'-g');
plot(t,Y,'-y');
plot(t,B,'-');
hold off

xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Euler)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
legend('Concentración de A','Concentración de X', 'Concentración de Y', 'Concentración de B', 'location','east')


5 Apartado 7

Gráfica que relaciona relaciona la variación de la concentración de los cuatro compuestos de la mezcla con el tiempo.


t0=0; tf=200;
h=0.01; N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;

A0=5; X0=5*(10^-4); Y0=10^(-5); B0=0;

A=zeros(1,N+1); 
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

A(1)=A0; X(1)=X0; Y(1)=Y0; B(1)=B0;
aa=A0; xx=X0; yy=Y0; bb=B0;

K1=0.1; K2=K1; K3=K1/2;

for n=1:N
    
   K1A=-K1*aa*xx;
   K2A=K1A+K1A*h;
   
   K1X=K1*aa*xx-K2*xx*yy;
   K2X=K1X+K1X*h;
   
   K1Y=K2*xx*yy-K3*yy;
   K2Y=K1Y+K1Y*h;
   
   K1B=K3*yy;
   K2B=K1B+K1B*h;
    
    
   aa=aa+0.5*h*(K1A+K2A);
   xx=xx+0.5*h*(K1X+K2X);
   yy=yy+0.5*h*(K1Y+K2Y);
   bb=bb+0.5*h*(K1B+K2B);
   
   A(n+1)=aa;
   X(n+1)=xx;
   Y(n+1)=yy;
   B(n+1)=bb;

end


plot(t,A,'*r'); 
hold on
plot(t,X,'*g');
plot(t,Y,'*y');
plot(t,B,'*');
hold off

xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Heun)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
legend('Concentración de A','Concentración de X', 'Concentración de Y', 'Concentración de B', 'location','best')


En la gráfica podemos ver como originalmente tenemos una alta concentración de A, que va transformándose, al principio lentamente y luego más rápido en X (alcanzando la máxima velocidad en torno a los 20 segundos cuando las concentraciones de A y X se igualan). A continuación, al compuesto X se transforma en Y, en una reacción de apenas 20 segundos, no llega a formarse una alta concentración de Y, en seguida empieza a decrecer su presencia transformándose en B, compuesto final, lo que se aprecia en la horizontalidad de la gráfica a la que llegamos una vez el contenido de Y ha desaparecido por completo.

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