Modelo Térmico en interior de edificio(Grupo 16-C)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Modelo Térmico en interior de edificio. Grupo 16-C
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Laura Ramos Sangrós Luis Moreno López Alejandro Alcocer Jiménez Álvaro de Martinez de Andrés Gonzalo Olmos de la Cruz
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Utilizando ecuaciones diferenciales se puede crear un modelo matemático que permita determinar la temperatura de un edificio en cualquier tiempo dado T(t), considerando que el edificio es una sola habitación. La razón de cambio de la temperatura está dada por todos los factores que generan o disipan el calor.

Es necesario tomar en cuenta tres factores: llamaremos al calor generado por las personas, computadoras, luces y demás artefactos H(t); también hay que considerar el calentamiento o enfriamiento provocado por la calefacción o aire acondicionado. A dicha función la llamaremos U(t) (las podríamos llamar razones respecto al tiempo).

El tercer factor es el efecto de la temperatura exterior sobre el edificio; este factor se puede modelar mediante la ya conocida ley de enfriamiento de Newton, que establece que hay una razón de cambio de la temperatura T(t) que es proporcional a la diferencia entre la temperatura exterior M(t) menos la interior T(t), es decir:

                                [math]\frac{\partial T}{\partial t}=K[M(t)-T(t)] [/math]

La constante K depende de las propiedades físicas del edificio, es decir, de la cantidad de puertas, ventanas, etc. Pero no depende de M,T o t. Por lo tanto vemos que cuando M es mayor que T, la temperatura del edificio aumenta, y si M es menor que T, la temperatura del edificio disminuye. Resumiendo vemos que:

                           [math]\frac{\partial T}{\partial t}=K[M(t)-T(t)] + H(t) + U(t) [/math]

Teniendo el problema introducido, se nos plantea averiguar cuánto tarda en cambiar considerablemente la temperatura del edificio. Para contestar a esto se nos supone que al final del día (to = 0), la temperatura exterior permanece a Mo grados C,la razón de calentamiento adicional H(t) en el interior del edificio es 0, y la razón de calefacción o aire acondicionado U(t) es también 0. Suponiendo por último que la temperatura en el interior del edificio a medianoche es T(0) = To grados C,la temperatura T(t) en función del tiempo t satisface:

                           [math]\ T(t)-Mo = (To-Mo)e^{-kt} [/math]

La primera cuestión,que es la anterior citada, la abordamos suponiendo que la temperatura en el interior del edificio a media noche(t=0) es To=14 grados,que la temperatura exterior es constante e igual a 8 grados(Mo = 8) y que la constante del edificio es de 3 horas(k=3). Así, utilizando la ley de enfriamiento de Newton [math]\ T'(t)=K[Mo-T(t)] [/math] y con los datos dados,se procede a determinar como evoluciona la temperatura a lo largo del día que empieza mediante el método de Euler Implícito.

%Variacion de la temperatura del edificio con Euler implícito
clear all,clf
t0 = 0;                  %Tiempo incicial(media noche)
tn = 24; 
T0 = 0;                  %Tiempo final(24h del dia)
h = 0.01;                %Longitud de paso
N =(tn-t0)/h;            %Numero de nodos
t = linspace(0,24,N+1);  %Definimos var.indep.(Tiempo)

%Solución exacta
%T(t)=Mo+(To-Mo)*exp(-k*t) 
 Te = 8+(0-8.*exp(-3*t));

T = zeros(size(t));      %Creamos un vector de ceros en T
T(1) = T0;               %El valor de T en el primer instante

for i = 1:N
  %Despejando T(i+1) de la ecuacion de Euler Implícito sale
  T(i+1) = 1/(1+3*h)*(T(i)+24*h);
end

%Sacamos tabla de resultados,Temperatura en abcisas y Tiempo en ordenadas
[T',t',Te'];

%Gráfica
hold on
plot(Te,t,'r');
plot(T,t,'b');
legend('Solucion exacta','Euler', 'location','best')
hold off

Segunda situación del Modelo

En segundo lugar se exige que el calentamiento adicional H(t) es igual a una constante(Ho), pero aún no hay calefacción o enfriamiento (U(t)=0). En este segundo caso, la temperatura exterior M(t) varía en forma de onda senoidal durante un periodo de 24 horas,su mínimo en t=0(medianoche) y su máximo en t=12(mediodía),dato importante que se reflejará en las posteriores gráficas.

 [math]\ M(t)=Mo-Bcos(wt) [/math]

donde Mo y B con constantes y [math]\ w=\frac{pi}{12}\ [/math] en radianes/hora y T(0)=To Demostramos que la solución de esta situación es(dada por el enunciado del trabajo):

 [math] T(t)=Bo - BF(t) + Ce^{-kt} [/math] 

\left\{\begin{matrix}\ Bo = Mo + \frac{Ho}{k}\ , & \\ F(t)= \frac{\cos(wt)+\frac{w}{k}\sin(wt)}{1+\frac{w^2}{k^2}}\ \, \\ C= To - Bo + \frac{B}{1+\frac{w^2}{k^2}}\\ & \end{matrix}\right