Reacciones con Autocatálisis (A5)

De MateWiki
Saltar a: navegación, buscar
Trabajo realizado por estudiantes
Título Reacciones con Autocatálisis. Grupo 5A
Asignatura Ecuaciones Diferenciales
Curso Curso 2014-15
Autores Javier Blanco Villarroel
Marta Cavero Guillén
Alba Bringas Gil
Irene Bendala Sugrañes
Paula Botella Andreu
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura


Consideraremos una reacción química irreversible en una solución bien mezclada.
Supondremos que la reacción ocurre para un volumen y temperatura constantes.
Al inicio se encuentran dos reactivos A y B que van formando un producto C en lo que se conoce como una reacción bimolecular, es decir, una molécula de A y una de B producen una de C,


[math] A + B \rightarrow C [/math]


Supondremos también que se satisface la ley de acción de masas que establece que la velocidad de reacción es proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. En nuestro caso analizaremos el caso particular en el que A se transforma en B pero suponiendo que la presencia de B hace de efecto catalítico en la reacción. Escribiremos este proceso como una reacción bimolecular


[math] A + B \rightarrow k . 2B [/math]


en la que B hace al mismo tiempo papel de reactivo y producto.


Llamaremos:

[math] x= A+B[/math]
[math] y= 2B[/math]


Despejando el sistema obtenemos que:
[math] B=\frac{y}{2}[/math]
[math] A=x-\frac{y}{2}[/math]


A partir del principio de conservación de masas sabemos que [math] x+y= cte [/math] por lo que [math] x'+ y' = 0[/math] , quedando demostrada la primera ecuación.

La velocidad de reacción [math] v= k.A.B[/math] y además sabemos que [math]v= y' = -x'[/math]
Del sistema anterior obtenemos que [math] AB=\frac{y}{2}. (x-\frac{y}{2})[/math], sustituyendo:
[math]y' = k.\frac{y}{2}.(x-\frac{y}{2}) [/math]
y como [math] x=cte-y[/math] podemos decir que [math]y' = k.\frac{y}{2}.(cte-y-\frac{y}{2}) [/math]
[math]\frac{k}{2} = k[/math]
puesto que es una constante.
seguimos despejando [math] y'=k.y(\frac{2}{3}cte-y) = k.y(cte-y) \rightarrow y'= k.x.y [/math]

Integrando la primera ecuación y sustituyendo el valor de x(t) en la segunda, obtenemos que [math] y'=-k.y\ltsup\gt2\lt/sup\gt[/math] por lo que el PVI asociado será:

PVI \rightarrow [math] y'=-k.y\ltsup\gt2\lt/sup\gt[/math]
[math] y(t\ltsub\gt0\lt/sub\gt)= y\ltsub\gt0\lt/sub\gt\lt/sup\gt[/math]

Para que tenga una solución única f(x,y) tiene que ser continua en (x0,y0) \rightarrow Punto de condición inicial.
Además [math] frac{\partial f}{\partial f} (x,y)[/math] tiene que ser continua en (x0,y0)

Como [math] frac{\partial f}{\partial f}(x,y) = -2kyy' [/math] \rightarrow Es continua para todo valor (x0,y0)

Y f(x,y)=-ky2 también lo es para todo valor (x0,y0), podemos afirmar que tiene una solución única.

Suponiendo que las concentraciones iniciales de A y B son 1 mol/l y 0:01 mol/l respectivamente, y k = 1 mol/s, resolvemos el PVI por el m�etodo de Euler, eligiendo un paso h = 0:1, en los primeros 10 segundos.

Gráficaque relaciona la concentración y el tiempo hecha mediante el método de Euler.
%Ejercicio 2.2 Euler
t0=0
tn=10
n=100
h=(tn-t0)/n;
t=t0:h:tn;

y0=1
y=zeros(1,n+1);
y(1)=y0;
yy=y0;

k=1

x0=0.01
x=zeros(1,n+1);
x(1)=x0;
xx=x0;

for i=1:n
   yy=yy+h*(-k*xx.*yy);
   xx=xx+h*k*(xx.*yy);
   y(i+1)=yy;
   x(i+1)=xx;
   end

plot(t,y,'g','linewidth',2) 
title('Concentración - Tiempo','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
legend('Concentración de B','Concentración de A','location','east')


Gráfica que relaciona la concentración y el tiempo hecha mediante el método del trapecio.
%Ejercicio 2.3 trapecio
t0=0
tn=10
n=100
h=(tn-t0)/n;
t=t0:h:tn;

y0=1
y=zeros(1,n+1);
y(1)=y0;
yy=y0;

k=1

x0=0.01;
x=zeros(1,n+1);
x(1)=x0;
xx=x0;

for i=1:n
   yy=(((2*yy)/(-k*h))+xx.*yy)/((-2/(k*h))+(-k*xx));
   xx=(((2*xx)/(k*h))+xx.*yy)/((2/(k*h))-(k*yy));
   y(i+1)=yy;
   x(i+1)=xx;
   end

plot(t,x,'k','linewidth',2)
hold on
plot(t,y,'c','linewidth',2) 

title('Concentración - Tiempo (Trapecio)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
legend('Concentración de B','Concentración de A','location','best'


Gráfica que relaciona la concentración y el tiempo hecha mediante el método de Runge-Kutta.
%Ejercicio 2.3 Runge Kutta
t0=0
tn=10
n=100
h=(tn-t0)/n;
t=t0:h:tn;

y0=1
y=zeros(1,n+1);
y(1)=y0;
yy=y0;

k=1

x0=0.01
x=zeros(1,n+1);
x(1)=x0;
xx=x0;

for i =1:n

 k1A=(-k*xx.*yy);
 k1B=(k*xx.*yy);
 y1=yy+h*k1A/2;
 x1=xx+h*k1B/2
 
 k2A=(-k*x1.*y1);
 k2B=(k*x1.*y1);
 y2=yy+h*k2A/2;
 x2=xx+h*k2B/2;
 
 k3A=(-k*x2.*y2);
 k3B=(k*x2.*y2);
 y3=yy+h*k3A/2;
 x3=xx+h*k3B/2;
 
 k4A=(-k*x3.*y3);
 k4B=(k*x3.*y3);
 
 yy=yy+((h/6)*(k1A+2*k2A+2*k3A+k4A));
 xx=xx+((h/6)*(k1B+2*k2B+2*k3B+k4B));
 y(i+1)=yy;
 x(i+1)=xx;
 end

figure(1)   
plot(t,x,'y','linewidth',2)
hold on
plot(t,y,'m','linewidth',2) 

title('Concentración - Tiempo (Runge-Kutta)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
legend('Concentración de B','Concentración de A','location','best')


Línea con sangría

1 Apartado 4

Gráfica que relaciona relaciona la variación de la concentración de los dos compuestos de la mezcla con el tiempo.


t0=0; tf=10;
w0=[1;0.01];
h=0.1; N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;
w=zeros(2,N+1); %las filas es el número de  incógnitas en el sistema
w(:,1)=w0;
ww=w0;

%Euler

for n=1:N
    
    F=[-1*ww(1)*ww(2);1*ww(1)*ww(2)];
    
    ww=ww+h*F;
    w(:,n+1)=ww;
end

subplot(1,2,1)
plot(t,w,'*'); %MATLAB dibuja una grágica para cada columna, NO poner color para que nos ponga cada una de un colo
legend('Concentración de A','Concentración de B', 'location','best')
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Euler)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 10);

%Runge Kutta

z0=[1;0.01]; %para volver a empezar
z=zeros(2,N+1); %las filas es el número de  incógnitas en el sistema
z(:,1)=z0;
zz=z0;

for n=1:N
    
    F=[-1*zz(1)*zz(2);1*zz(1)*zz(2)];
     
    k1=F;
    
    z1=F+(1/2)*k1*h;
    k2=z1;
    
    z2=F+(1/2)*k2*h;
    k3=z2;
    
    z3=F+k3*h;
    k4=z3;
    
    zz=zz+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
    z(:,n+1)=zz;

end

subplot(1,2,2)
plot(t,z,'o')
legend('Concentración de A','Concentración de B', 'location','best')
xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Runge-Kutta)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 10);


h=0.01

2 Apartado 6

t0=0; 
tf=200;
h=0.01; 
N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;
A0=5; 
X0=5*(10^-4); 
Y0=10^(-5); 
B0=0;

A=zeros(1,N+1); 
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

A(1)=A0; 
X(1)=X0; 
Y(1)=Y0; 
B(1)=B0;


K1=0.1; K2=K1; K3=K1/2;

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h*(K1*A(i)*X(i)-K2*X(i)*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h*(K2*X(i)*Y(i)-K3*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h*(K3*Y(i));
A(i+1)= A(i)+h*(-K1*A(i)*X(i));
end

hold on
plot(t,A,'-r'); 
plot(t,X,'-g');
plot(t,Y,'-y');
plot(t,B,'-');
hold off

xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Euler)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
legend('Concentración de A','Concentración de X', 'Concentración de Y', 'Concentración de B', 'location','east')
t0=0; 
tf=200;
h=0.001; 
N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;
A0=5; 
X0=5*(10^-4); 
Y0=10^(-5); 
B0=0;

A=zeros(1,N+1); 
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

A(1)=A0; 
X(1)=X0; 
Y(1)=Y0; 
B(1)=B0;


K1=0.1; K2=K1; K3=K1/2;

for i=1:N
X(i+1)=X(i)+h*(K1*A(i)*X(i)-K2*X(i)*Y(i));
Y(i+1)=Y(i)+h*(K2*X(i)*Y(i)-K3*Y(i));
B(i+1)=B(i)+h*(K3*Y(i));
A(i+1)= A(i)+h*(-K1*A(i)*X(i));
end

hold on
plot(t,A,'-r'); 
plot(t,X,'-g');
plot(t,Y,'-y');
plot(t,B,'-');
hold off

xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Euler)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
legend('Concentración de A','Concentración de X', 'Concentración de Y', 'Concentración de B', 'location','east')


3 Apartado 7

Gráfica que relaciona relaciona la variación de la concentración de los cuatro compuestos de la mezcla con el tiempo.


t0=0; tf=200;
h=0.01; N=(tf-t0)/h;
t=t0:h:tf;

A0=5; X0=5*(10^-4); Y0=10^(-5); B0=0;

A=zeros(1,N+1); 
X=zeros(1,N+1);
Y=zeros(1,N+1);
B=zeros(1,N+1);

A(1)=A0; X(1)=X0; Y(1)=Y0; B(1)=B0;
aa=A0; xx=X0; yy=Y0; bb=B0;

K1=0.1; K2=K1; K3=K1/2;

for n=1:N
    
   K1A=-K1*aa*xx;
   K2A=K1A+K1A*h;
   
   K1X=K1*aa*xx-K2*xx*yy;
   K2X=K1X+K1X*h;
   
   K1Y=K2*xx*yy-K3*yy;
   K2Y=K1Y+K1Y*h;
   
   K1B=K3*yy;
   K2B=K1B+K1B*h;
    
    
   aa=aa+0.5*h*(K1A+K2A);
   xx=xx+0.5*h*(K1X+K2X);
   yy=yy+0.5*h*(K1Y+K2Y);
   bb=bb+0.5*h*(K1B+K2B);
   
   A(n+1)=aa;
   X(n+1)=xx;
   Y(n+1)=yy;
   B(n+1)=bb;

end


plot(t,A,'*r'); 
hold on
plot(t,X,'*g');
plot(t,Y,'*y');
plot(t,B,'*');
hold off

xlabel('Tiempo (s)','FontSize', 11);
ylabel('Concentración (mol/L)','FontSize', 11);
title('Concentración - Tiempo (Heun)','FontName','Berlin sans FB','FontSize', 20);
legend('Concentración de A','Concentración de X', 'Concentración de Y', 'Concentración de B', 'location','best')
Obtenido de «https://mat.caminos.upm.es/w/index.php?title=Reacciones_con_Autocatálisis_(A5)&oldid=23861»