Logística con umbral A7

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Logística con umbral A-7
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Bautista Mendo, Jorge Casanova Lozano, Javier Chueca Rincón, Jaime Crespo Ferrer, Enrique Domínguez Trufero, Miguel
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 PVI

Resolveremos la ecuación (7) por los tres distintos métodos: Runge-Kutta, Euler y Heun. Cada unos de ellos nos aportara una aproximación de la solución exacta siendo el método de Runge-Kutta la mejor aproximación de las tres, y el de Euler el menos exacto. También dependerá del paso(h) elegido, ya que cuanto menor sea éste, mas exacta sera la función, debido a que habrá un mayor numero de intervalos con un diferencial de área menor, lo que provoca que la integral calculada sea mas precisa. Usaremos los pasos h = 1; h = 0.1; h = 0.01 . Tomando como intervalo 100 años, una población inicial de 60...

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%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;tN=100;    %tiempos inicial y final
y0=60;          %condición inicial
%El tamaño de paso lo haremos con h=1,0.1,0.01
h=input('Introduce tamaño de paso:');      %Tamaño de paso
N=(tN-t0)/h;            %discretización
r=0.04;m1=30;m2=100;  %constantes de la ecuación
t=t0:h:tN;          %vector de tiempos
%Vector y su condición inicial en cada metodo
y=zeros(1,N+1); y(1)=y0;   %Runge-Kutta
z=zeros(1,N+1);z(1)=y0;    %Euler
he=zeros(1,N+1);he(1)=y0;  %Heun
for i=1:N
 %Método Runge-Kutta:
 K1=-r*y(i)*(1-y(i)/m1)*(1-y(i)/m2);
 K2=-r*(y(i)+1/2*K1*h)*(1-((y(i)+1/2*K1*h)/m1))*(1-((y(i)+1/2*K1*h)/m2));
 K3=-r*(y(i)+1/2*K2*h)*(1-((y(i)+1/2*K2*h)/m1))*(1-((y(i)+1/2*K2*h)/m2));
 K4=-r*(y(i)+K3*h)*(1-((y(i)+K3*h)/m1))*(1-((y(i)+K3*h)/m2));
 y(i+1)= y(i)+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);
 %Método Euler:
 z(i+1)=z(i)+h*(-r*(z(i)+1/2*K1*h)*(1-(z(i)+1/2*K1*h)/m1)*(1-(z(i)+1/2*K1*h)/m2));
 %Método de Heun:
 Kh1=-r*he(i)*(1-he(i)/m1)*(1-he(i)/m2);
 Kh2=-r*(he(i)+Kh1*h)*(1-((he(i)+Kh1*h)/m1))*(1-((he(i)+Kh1*h)/m2));
 he(i+1)= he(i)+h/2*(Kh1+Kh2);      
end
%Dibujamos las distintas gráficas:
subplot(3,1,1);
plot(t,y,'b','linewidth',2)
legend('RUNGE-KUTTA','location','best')
subplot(3,1,2);
plot(t,z,'r','linewidth',2)
legend('EULER','location','best')
subplot(3,1,3);
plot(t,he,'g','linewidth',2)
legend('HEUN','location','best')

Como podemos comprobar en las siguientes imágenes la población empieza a crecer de forma que se estabiliza al llegar a 100, siendo esta su población límite que admite. A medida que vayamos tomando pasos mas pequeños se reducirán los errores y conseguiremos una aproximación mejor. Paso 1

Paso 0.1

Paso 0.01

2 Apartado 4 y 5

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%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;tN=100;    %tiempos inicial y final
y0=120; y02=20;       %condición inicial
%El tamaño de paso lo haremos con h=1,0.1,0.01
h=0.1;                %Tamaño de paso
N=(tN-t0)/h;          %discretización
r=0.04;m1=30;m2=100;  %constantes de la ecuación
t=t0:h:tN;            %vector de tiempos
%Vector y su condición inicial en cada y0
he=zeros(1,N+1);he(1)=y0;  
he2=zeros(1,N+1);he2(1)=y02;
for i=1:N
    %Con y0=120
 K1=-r*he(i)*(1-he(i)/m1)*(1-he(i)/m2);
 K2=-r*(he(i)+K1*h)*(1-((he(i)+K1*h)/m1))*(1-((he(i)+K1*h)/m2));
 he(i+1)= he(i)+h/2*(K1+K2);     
    %Con y0=20
 Kh1=-r*he2(i)*(1-he2(i)/m1)*(1-he2(i)/m2);
 Kh2=-r*(he2(i)+Kh1*h)*(1-((he2(i)+Kh1*h)/m1))*(1-((he2(i)+Kh1*h)/m2));
 he2(i+1)= he2(i)+h/2*(Kh1+Kh2);
end
%dibujamos las graficas:
hold on
plot(t,he,'g','linewidth',2)
plot(t,he2,'b','linewidth',2)
legend('y0=120','y0=20','location','best')
hold off
xlabel('tiempo')
ylabel('población')