Usuario:Carlosferber

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Modelo para epidemias. Grupo 23
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Álvaro Roales Blanco, Carlos Fernández Bermejo, Adrián Gómez Apiñániz, Marta Torra Escánez, Ricardo Mazón Cabrera
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

El objeto de estudio de nuestro trabajo es el modelo de expansión de una epidemia a lo largo de un tiempo. Usaremos las siguientes hipótesis:

1. La población (constante) se indicará como N en el que todos serán susceptibles a la enfermedad.
2. La duración de la enfermedad es larga de modo que los individuos no se recuperarán durante el periodo de estudio.
3. La unidad de tiempo escogida será la semana.
4. Durante cada unidad de tiempo cada persona infectada tiene c contactos.

2 Determinación del número de contactos c

El primer paso a realizar es determinar el número de contactos que tiene una persona infectada en la unidad de tiempo elegida, es decir, la semana. Emplearemos la siguiente ecuación diferencial que nos muestra el enunciado del trabajo:

[math] I'(t) = \frac{c}{N}I(t)(N-I(t)) [/math]

Asignando a I(t) el número de personas infectadas.

c es un número de dos decimales comprendido entre [math] 0.01 [/math] y [math] 0.99 [/math]. Siendo N igual a 500000 con las siguientes condiciones iniciales: [math] I(0)=200 [/math] y [math] I(1)=500 [/math] Para determinar c imponemos la siguiente condición, que [math] |I(1)-500| [/math] tenga el menor valor posible, es decir, aquel valor que minimice lo posible el error absoluto. Para hallar ese valor lo hallaremos numéricamente con el siguiente programa escrito en MATLAB:

y0 = 200; % Número inicial de infectados
y = []; 
c = 1/100:0.01:99/100; % Posibles valores de c
N = 500000; % Población total
k = length(c);
C_min = c(1);
Y = N;
for i = 1:k
   Y_final = Y;
   Y = N*y0/(y0+(N-y0).*exp(-c(i))); % Modelo para t=1
   y = [y Y];
   if abs(Y-500) <= abs(Y_final-500)
       C_min = c(i);
       end
  end
min(abs(y-500)) % Error mínimo absoluto cometido  
C_min
plot(c,abs(y-500),'r')

Al ejecutar el programa anteriormente escrito obtenemos el valor c minimizando así el error que será igual a [math] 0.92 [/math] Por otra parte hemos dibujado un gráfico para ver la variación del error para cada valor de c:

Evolución del error según los diferentes valores de c

3 Estudio de la evolución de la enfermedad

A continuación haremos el estudio de la evolución de la epidemia a lo largo de las semanas mediante los dos siguientes métodos.

Primero explicaremos el Método de Heun:

Consiste en la aproximación a la pendiente mediante la aplicación de dos derivadas del intervalo, una en el punto inicial y otra en punto final. La aproximación mejorada de la pendiente será el promedio de las dos derivadas, se calcula los siguientes elementos:

1. [math] K_{1}=f(t_{n},y_{n}) [/math]
2. [math] K_{2}=f(t_{n}+h,y_{n}+K_{1}h) [/math]
3. [math] y_{n+1}=y_{n}+\frac{h}{2}(K_{1}+K_{2}) [/math]

Siendo h la longitud de paso entre dos valores consecutivos

En segundo lugar expondremos el Método de Runge-Kutta:

Sería similar al método de Heun pero se descompone en cuatro soluciones, se hace del siguiente modo:

1. [math] K_{1}=f(t_{n},y_{n}) [/math]
2. [math] K_{2}=f(t_{n}+\frac{h}{2},y_{n}+\frac{h}{2}K_{1}) [/math]
3. [math] K_{3}=f(t_{n}+\frac{h}{2},y_{n}+\frac{h}{2}K_{2}) [/math]
4. [math] K_{4}=f(t_{n}+h,y_{n}+K_{3}h) [/math]
5. [math] y_{n+1}=y_{n}+\frac{h}{6}(K_{1}+2K_{2}+2K_{3}+K_{4}) [/math]