Modelos Epidemológicos Grupo 4-C

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Modelos Epidemológicos. Grupo 4-C
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Angela Béjar Gómez, Eduardo Bonet García, Gonzalo Ubeda, Elisa Pamplona Frey, Alberto Rojas, Fernando Sancha Domínguez
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

En el desarrollo de una epidemia se distingue dos tipos de individuos: Los que ya han contraido de la enfermedad I, y los que son susceptibles de contraerla por encontrarse en zona de riesgo S. Consideramos las variables: t tiempo, S(t) población de individuos susceptibles a contraer la enfermedad, I(t) población de individuos infectados; y el sistema:: [math]\frac{dS}{dt}=-aSI[/math]: [math]\frac{dI}{dt}=aSI-bI-cI[/math] Los parámetros a, b y c como:

1. "a":Proporción de la interacción entre personas susceptibles a ser infectados y personas ya infectadas.
2. "b":Proporción de personas que superan la enfermedad.
3. "c":Proporción de personas que mueren a causa de la enfermedad.

Método de Euler y Trapecio

Consideramos la ecuación: [math]\frac{dI}{dt}=aSI-bI-cI[/math] Con S=0, es decir, [math]\frac{dI}{dt}=-bI-cI[/math]. Conocidos los valores b=0.3y c=0.01, nos queda el problema de valor inicial siguiente: [math]\frac{dI}{dt}=-bI-cI;[/math]: [math]b=0.3 \\ c=0.01 \\ I_{0}=2000[/math] Aplicamos el método de Euler para resolver la ecuación diferencial utilizamos un intervalo de tiempo de 0 a 50 porque a los 41 días el mínimo de infectados se reduce a cero. Según se interpreta en la gráfica(ayudándonos de un bucle while de matlab) se observa que el número de infectados se reduce a la cuarta parte en 4,5 días. El código matlab utilizado es:

Comparación del método de Euler y del Trapecio

t0=0;
tN=50; % consideramos el intervalo de tiempo [0,50] ya que el numero de infectados será cero a los 41 días
I0=2000;
S=0
h=0.1;
N=round((tN-t0)/h); 
t=t0:h:tN;
I=zeros(1,N+1); %euler 
I(1)=I0;
Z=zeros(1,N+1); % Trapecio
Z(1)=I0;
G=zeros(1,N+1); % Vector para cáculo del tiempo que tarda en reducirse I(i) a la cuarta parte
G(1)=I0;
a=0.003;
b=0.3;
c=0.01;
for i=1:N
 I(i+1)=I(i)+h*(a*S.*I(i)-b.*I(i)-c.*I(i)); %euler
 Z(i+1)=(Z(i).*(1+h/2*(-b-c)))/(1+h/2*(b+c)); %trapecio
end
i=1;
tg0=0;
tg(1)=tg0;
while G(i)>(I0/4)
 G(i+1)=G(i)+h*(a*S.*G(i)-b.*G(i)-c.*G(i));%bucle que calcula el tiempo que tarda en reducirse I(i) a la cuarta parte
 tg(i+1)=tg(i)+h;
 i=i+1;
end
%sacamos tabla de resultados
[t',I',Z'] 
hold on
plot(t,I)
plot(t,Z,'r')
hold off
legend('Euler','Trapecio','Location','best');
disp('Tiempo final:')
disp(tg(end))