Desintegración Radiactiva.Grupo 5

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Desintegración Radiactiva. Grupo 5.
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Álvaro Ramón López, Diego García Vaquero, Noemí Palomino Bustos, Mercedes Ruiz Barrajón, Teresa Quintana Romero, Araceli Martín Candilejo.
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Apartado 1

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%% TRABAJO 3 APARTADO 1
%       M'(t)=-1,24*10^(-4)*M(t)
%       M(0)=1

% M(t) representa la cantidad de C14 en un instante dado, como no nos
% dan una cantidad inicial M0 supondremos que esta es uno. Nuestro objetivo
% es determinar en que intanste queda un 8% de la cantidad inicial M0.7
% Como M0=1, es como si trabajaramos todo el rato en tanto por uno
% Después demostraremos que quedará un 8% de M0 pasado el tiempo que
% tratamos de determinar independientemente del M0 adoptado.

t0=0;
h=input('Inserte el valor del paso, por favor: ');
M0=input('Inserte la cantidad inicial de carbono 14, por favor: ');
t(1)=t0;
M(1)=M0;

% Euler explícito
i=1;
while M(i)>(0.08*M0)
  M(i+1)=M(i)+h*((-1.24*10^(-4))*M(i));
  t(i+1)=t(i)+h;
  i=i+1;
end

disp('Tiempo final:')
disp(t(end))
plot(t,M)
xlabel('Cantidad de Carbono 14');
ylabel('Tiempo (años)');
legend('Euler explícito','Location','best');

2 Resolución por el método del Trapecio

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%Trapecio
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clf

%y´=f(t,y);
%y(t0)=y0;

%y(n+1)=yn+(h/2)*(f(tn,yn)+f(t(n+1),y(n+1)))
%Hay que despejar manualmente para tener SOLO y(n+1) a un lado de la ecuación.

% Si representamos la concentración del elemento radiactivo M(t) como y(t):
%M'(t)=-kM(t)---> y'(t)=-ky(t)

%En este caso, cuando se despeja manualmente:
%y(n+1)=y(n)+(h/2)(-ky(n)-ky(n+1))
%(1+kh/2)y(n+1)=y(n)-khy(n)/2
%y(n+1)=(y(n)-khy(n)/2)/(1+kh/2)

%SOLUCIÓN:

%PASO 1
%DATOS ENUNCIADO:
t0=0;
y0=1;
tN=10000;

%NUMERO DE SUBINTERVALOS:N
h=0.1;
%h=(tN-t0)/N
N=(tN-t0)/h;

%VECTOR DE TIEMPOS:
t=t0:h:tN;
%t=linspace(t0,tN,N+1);

%VECTOR DE SOLUCIONES:
y=zeros(1,N+1);
%relleno el primer valor de "y" con y0.
y(1)=y0;

%Constante de desintegración:
k=1.24*10^(-4);

%Bucle:
i=1;
while y(i)>(0.08*y0)
 y(i+1)=(y(i)-(k*h*y(i))/2)/(1+(k*h)/2); %Trapecio
 t(i+1)=t(i)+h;
 t(i+1)=t(i)+h;
  i=i+1;
end

disp('Tiempo para y=0.08:')
disp(t(end))

hold on
plot(t,y);
legend('Trapecio','Location','best');

Evolución del contenido de C14 según el método del Trapecio con un paso h=0.1 .

Resultado del valor del tiempo para el cual el contenido de C14 es el 8% del contenido inicial, según el método del Trapecio con un paso h=0.1 .

3 Resolución por el método de Runge-Kutta

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clear all, clf
%DATOS DEL PROBLEMA
t0=0;
tN=10000;
y0=1;

%h ES EL ESPACIO QUE OCUPA CADA SUBINTERVALOS (El paso).
%N ES EL NUMERO DE SUBINTERVALOS
%Tendremos N+1 NODOS
h=input('Introduce tamaño del paso h: ')
%h=0.1;
N=(tN-t0)/h;

%La variable independiente t:
t=t0:h:tN;

%Se crea un vector "y" para irlo rellenando posteriormente con las soluciones.
%La longitud de y tiene que ser de la misma longitud que la del vector tiempo.
y=zeros(1,N+1); %Será la solución del Runge Kutta;

%relleno el primer valor de "y" con y0.
y(1)=y0;

%RUNGE-KUTTA:
%K1=f(  tn  ,  yn  )
%K2=f(  tn+h/2,  yn+K1*h/2 );
%K3=f(  tn+h/2,  yn+K2*h/2 );
%K4=f(  tn+h,  yn+K3*h );
%y(n+1)=y(n)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);

%En nuestro caso: y'=f(t,y)=-ky
k=1.24*10^(-4);

n=1;
while y(n)>(0.5*y0)
    %K1=f(  tn  ,  yn  )
    K1=-k*y(n);
    %Definicion de variable K2
    %K2=f(  tn+h/2,  yn+K1*h/2 );
    t2=t(n)+(h/2);
    y2=y(n)+(h/2)*K1;
    K2=-k*y2;
    %Definicion de variable K3;
     %K3=f(  tn+h/2,  yn+K2*h/2 );
    t3=t2;
    y3=y(n)+(h/2)*K2;
    K3=-k*y3;
    %Definicion de variable K4;
     %K4=f(  tn+h,  yn+K3*h );
    t4=t(n)+h;
    y4=y(n)+h*K3;
    K4=-k*y4;
    %Funcion de RungeKutta;
    %y(n+1)=y(n)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
    y(n+1)=y(n)+(h/6)*(K1+2*K2+2*K3+K4);
    t(n+1)=t(n)+h;
    n=n+1;
end

disp('Tiempo medio: ')
disp(t(end))


hold on
plot(t,y)
legend('Runge Kutta','Location','best')
hold off

Evolución del contenido de C14 (hasta que éste es el 50% del contenido inicial) según el método de Runge Kutta con un paso h=0.1 .

La vida media que da el programa es de 5592,51 años.