Modelo para epidemias (Grupo 6-A)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Modelo para epidemias. Grupo 6-A
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2014-15
Autores	Álvaro Baeza Cabrero, Daniel Fojo Berlana, Gonzalo Bolea Muguruza, Pablo Carrasco del Olmo, Jorge Juan Fernández Díaz
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Introducción

En este artículo se va a realizar el estudio del comportamiento temporal de un enfermedad infecciosa. Usaremos las siguientes hipótesis:

1. La población será un número fijo N en el que todos serán susceptibles a la enfermedad.
2. Los individuos infectados no se curarán durante el periodo de la enfermedad y serán contagiosos.
3. La unidad de tiempo será la semana.
4. Durante cada unidad de tiempo cada persona infectada tiene c contactos.

2 Determinación del número de contactos c

Primero en nuestro estudio vamos a determinar el número de contactos que tiene una persona infectada por unidad de tiempo de la siguiente ecuación diferencial que no proporciona el enunciado del trabajo:

[math] I'(t) = \frac{c}{N}I(t)(N-I(t)) [/math]

Siendo I(t) el número de personas infectadas.

c sería un número de dos decimales comprendido entre [math] 0.01 [/math] y [math] 0.99 [/math]. Supongamos que N sea igual a 500000 y que tiene las siguientes condiciones iniciales: [math] I(0)=200 [/math] y [math] I(1)=500 [/math] Para determinar c vamos a imponer una condición, que [math] |I(1)-500| [/math] tenga el valor más bajo posible, es decir, aquel valor que minimice lo posible el error absoluto. Para hallar ese valor lo resolveremos numéricamente con el siguiente programa escrito en MATLAB:

y0 = 200; % Valor inicial
y = []; 
c = 1/100:0.01:99/100; % Posibles valores de c
N = 500000; % Población total
k = length(c);
C_min = c(1);
Y = N;
for i = 1:k
   Y_final = Y;
   Y = N*y0/(y0+(N-y0).*exp(-c(i))); % Modelo para t=1
   y = [y Y];
   if abs(Y-500) <= abs(Y_final-500)
       C_min = c(i);
       end
  end
min(abs(y-500)) % Error absoluto mínimo que se comete  
C_min
plot(c,abs(y-500))

Ejecutando este programa nos da el valor c que minimiza el error que será igual a [math] 0.92 [/math] También hemos dibujado un gráfico para ver como evolucionaría el error para cada valor de c:

Error absoluto en I(1) para cada c