Usuario discusión:PaulaDeSantos

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Visualización de campos escalares y vectoriales en elasticidad. Grupo 29-C
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2014-15
Autores	Gonzalo Pizarro Cuervo-Arango(539) Iago Rodríguez Romero(824) Paula de Santos Muñoz(842)
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 ENUNCIADO

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre las parábolas P1 : 18y-􀀀81x²2-􀀀1 = 0 y P2 : 2y+x²2-􀀀1 = 0. Para representarla usaremos un sistema de coordenadas adaptado a la geometría que nos dan:

• x=uv
• y=(1/2)(u²-v²)

con u y v definidas en (u,v) 2 [1/3,1]x[􀀀-1,1].En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura T(u,v), que depende de las dos coordenadas curvilíneas (u,v), y los desplazamientos u(x,y) producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos r0(u,v) el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto (u,v) de la placa después de la deformación viene dada por:

• r(u,v) = r₀(u,v) + u(u,v)

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos u(u,v) = a (b . r₀) donde a y b son vectores dados. En este trabajo supondremos lo siguiente: a=g_u/|g_u| y b=(-4).(g_u/|g_u|)

1.1 Representación gráfica de la placa

En primer lugar, se obtiene el gráfico que representa la placa que consideraremos a lo largo de todo este trabajo, que corresponde a la región comprendida entre dos parábolas dadas
(P1 : 18y-􀀀81x²-􀀀1 = 0 y P2 : 2y+x²􀀀-1 = 0).El siguiente programa realiza el mallado correspondiente a (u,v) en el intervalo [-1,1]x[-1,1], y con un paso de 1/20 (=h).

h=(1/20);
u=(1/3):h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
figure(1)
subplot(1,2,1);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-1,1,-1,1]);
view(2);
subplot(1,2,2);
mesh(xx,yy,0*xx);
axis([-1,1,-1,1]);

2 Lineas coordenadas y vectores de la base natural

Definimos las líneas coordenadas como curvas que se obtienen al fijar dos de las tres coordenadas y hacer variar la tercera. En este apartado dibujaremos dichas líneas y los vectores de la base natural,los cuales se obtienen a partir de la igualdad:

La base natural obtenida es: [math] \vec{g_u}=v\vec{e_1} +u \vec{e_2}[/math] : [math] \vec{g_v}=u\vec{e_1} -v \vec{e_2}[/math] : [math]\vec{g}_w=\vec{e_3} [/math]

(Con el siguiente programa obtenemos dos gráficos, en el primero de ellos se aprecia g_u aplicado en cada punto de la malla, y en el segundo aparece aplicado g_v )

h=(1/20);
u=(1/3):h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
guu=vv; guv=uu; gvu=uu; gvv=-vv;
figure(2)
subplot(1,2,1);
quiver(xx,yy,guu,guv);
axis([-1.6,1.6,-0.8,0.8]);
subplot(1,2,2);
quiver(xx,yy,gvu,gvv);
axis([-1.6,1.6,-0.8,0.8]);

Aplicando ambas componentes de la base natural sobre cada punto de la malla, todo en un mismo gráfico, se obtiene:

figure (3)
hold on
quiver(xx,yy,guu,guv);
quiver(xx,yy,gvu,gvv);
axis([-1.6,1.6,-0.8,0.8]);
hold off

INTERPRETACIÓN:Como podemos observar, los vectores g_u y g_v son claramente ortogonales entre sí en todos los puntos de la malla.

3 Campo de temperaturas

Tomamos el campo de temperaturas dado por la función T(x,y)=(8-y²+2y).e^-(x2)

3.1 Máxima temperatura del campo

h=(1/20);
u=(1/3):h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=(8-(yy.^2)+(2.*yy)).*exp(-(xx.^2));
figure(102)
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,f);
view(2);
colorbar
axis([-1,1,-1,1]);
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,f)
axis([-1,1,-1,1])

INTERPRETACIÓN:En este gráfico vemos la actuación del foco de calor sobre la placa plana, observándose como varía dependiendo de la distancia a dicho foco. A la hora de obtener el máximo de temperatura, hemos calculado las derivadas parciales del campo escalar y las hemos igualado a cero. Con esto hemos observado un máximo en (0,1), punto que no entra dentro del dominio en estudio. Observando el gráfico se aprecia que el punto más cercano al mencionado anteriormente es (0,0,5).

3.2 Líneas de nivel del campo

h=(1/20);
u=(1/3):h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=(8-(yy.^2)+(2.*yy)).*exp(-(xx.^2));
figure(104)
hold on
contour(xx,yy,f,20);
view(2);
axis([-1,1,-1,1]);
hold off

3.3 Variación de temperatura

Para obtener dicha variación de temperaturas, se calcula el gradiente de la función que lo define y que en este caso es:

GRADIENTE DE T = -(8-y²-2y)(2x)e^-(x)2+(-2y-2).e^-(x)2,

,o lo que es lo mismo por definición → (derivada parcial de T(x,y) sobre x)+(derivada parcial de T(x,y) sobre y).

h=(1/20);
u=(1/3):h:1;
v=-1:h:1;
[uu,vv]=meshgrid(u,v);
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
f=(8-(yy.^2)-(2.*yy)).*(exp(-(xx.^2)));
grad=-(8-(yy.^2)-(2.*yy)).*((2.*xx).*exp(-(xx.^2)))+((-2.*yy-2).*exp(-(xx.^2)));
figure(30)
hold on
quiver(xx,yy,0*xx,grad);
contour(xx,yy,f,20);
view(2)
axis([-1.2,1.2,-0.8,0.8]);
hold off

INTERPRETACIÓN: Se puede observar, por la propia definición del gradiente, que dicho campo vectorial es perpendicular a las curvas de nivel de nuestra placa plana. A medida que nos acercamos a temperaturas más elevadas, el módulo del gradiente en cada punto va siendo mayor.

4 Campo de desplazamientos

4.1 Representación campo de vectores

h=1/20;                 
u=1/3:h:1;              
v=-1:h:1;               
[uu,vv]=meshgrid(u,v);    
xx=uu.*vv;                
yy=1/2*(uu.^2-vv.^2);  
figure(76)
Ux=-2.*uu.*vv;
Uy=-2.*uu.^2; 
quiver(xx,yy,Ux,Uy)
axis equal
view(2)

INTERPRETACIÓN:.....

4.2 Sólido antes y después del desplazamiento

u=1/3:h:1;            
v=-1:h:1;               
[uu,vv]=meshgrid(u,v);    
xx=U.*V;                 
yy=1/2*(U.^2-V.^2);  
Ux=-2.*uu.*vv;
Uy=-2.*uu.^2;
figure(5)
Dx=xx+Ux; 
Dy=yy+Uy; 
subplot(1,3,1)
mesh(xx,yy,0*xx)
axis([-1,1,-2,1]) 
view(2) 
title('Sólido inicial')
axis equal      
view(2)                
subplot(1,3,2)
mesh(Dx,Dy,0*Dx)
axis([-1,1,-2,1]) 
view(2)  
title('Sólido con el desplazamiento')
axis equal    
view(2)               
subplot(1,3,3)
hold on
mesh(Dx,Dy,0*Dx)
quiver(xx,yy,Ux,Uy)
title('Sólido con el desplazamiento y el campo del desplazamiento')
axis equal    
view(2)  
hold off

INTERPRETACIÓN:.....

4.3 Variación de volumen producida por desplazamiento

h=(1/20);                  
u=[(1/3):h:1];               
v=[-1:h:1];            
[uu,vv]=meshgrid(u,v); 
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
div=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2);
subplot(1,2,1)
surf(xx,yy,div)
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,div);      
colorbar 
axis([-1.2,1.2,-0.6,0.6])   
axis equal

INTERPRETACIÓN:.....

4.5 Tensiones normales

4.5.1 Tensiones normales en la dirección de g_u

h=(1/20);                  
u=[(1/3):h:1];               
v=[-1:h:1];            
[uu,vv]=meshgrid(u,v); 
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
figure(90)
Eu=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2); 
figure(90)
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,Eu)      
axis([-1,1,-1,1])      
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,Eu)      
axis([-1,1,-1,1])

4.5.2 Tensiones normales en la dirección de g_v

h=(1/20);                  
u=[(1/3):h:1];               
v=[-1:h:1];            
[uu,vv]=meshgrid(u,v); 
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
Ev=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(uu.^2+vv.^2); 
figure(92)
subplot(1,2,1);
surf(xx,yy,Ev)      
axis([-1,1,-1,1])      
view(2)
subplot(1,2,2)
surf(xx,yy,Ev)      
axis([-1,1,-1,1])

4.6 Tensión de Von Mises

h=(1/20);                  
u=[(1/3):h:1];               
v=[-1:h:1];            
[uu,vv]=meshgrid(u,v); 
xx=uu.*vv;
yy=(1/2).*((uu.^2)-(vv.^2));
figure(95)
e1=(-14*uu.^2-6*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2); 
e2=(-10*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2);   
e3=(-6*uu.^2-2*vv.^2)./(vv.^2+uu.^2);    
VonMises=sqrt(((e1-e2).^2+(e2-e3).^2+(e3-e1).^2)./2);
subplot(1,2,1);  
surf(xx,yy,VonMises) ;       
axis([-1,1,-1,1]);      
axis equal;
view(2);
subplot(1,2,2);
surf(xx,yy,VonMises) ;       
axis([-1,1,-1,1]);      
axis equal;