Modelo Predador-Presa de Lokta-Volterra

Las ecuaciones de Lokta-Volterra tratan de modelizar la evolución de dos poblaciones (depredador y presa) en el tiempo.

Planteamiento

El modelo se basa en los siguientes supuestos:

• El crecimiento de la población R(t) (Rabbits, en adelante simplemente R) de presas en ausencia de predadores es proporcional a la población R. Siendo a la diferencia entre las tasas de natalidad y mortalidad de la presa::

[math] \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} t}=aR [/math]

• El crecimiento de la población R se ve afectado por la acción de los depredadores. Esta acción es proporcional a la cantidad de interacciones FR entre la población R de presas y la población F(t) (Foxes, en adelante simplemente F) de predadores. El factor de proporcionalidad c indica el grado de efectividad del proceso.:

[math] \frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} t}=aR-bRT [/math]

• Este mismo factor afecta de forma positiva al crecimiento de la población F de predadores, que se ven beneficiados por la caza. El factor de proporcionalidad d indica el grado en que afecta el éxito en la caza al crecimiento de la población de predadores.:

[math] \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} t}=dRT [/math]

• Por último, la competitividad asociada al crecimiento excesivo de la población de predadores F resulta perjudicial para el crecimiento de esta población. El grado en que esto afecta al crecimiento de la población se representa a través del parámetro c.:

[math] \frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} t}=-cF+dRT [/math]

Por tanto, la expresión final del modelo se puede expresar a través del problema de condiciones iniciales o de Cauchy::

[math] \left\{\begin{matrix}\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} t}=aR-bRT\\\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} t}=-cF+dRT\\R(t_{0})=R_{0}, F(t_{0})=F_{0}\end{matrix}\right. [/math]

Siendo [math]F_{0},R_{0}[/math] el tamaño de las poblaciones R y F en [math]t=0[/math]