Visualización de campos en elasticidad en una placa plana
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Visualización de campos en elasticidad en una placa plana. Grupo 24-C |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2014-15 |
| Autores | Luis Moreno López, Alejandro Martínez Gamonal, Carlos Zay Pinilla, Mario López Andrés |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre dos elipses. Para representarla usaremos el sistema de coordenadas elíptico, que se adapta a la geometíıa que nos dan
[math] x = \cosh(u) \cos(v) [/math]
[math] y = \sinh(u) \sin(v) [/math]
con [math] u, v [/math] definidas en [math] (u, v) ∈ [1/2, 2] × [0, 2 ∗ pi) [/math].
En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math] T(u, v) [/math], que depende de las dos coordenadas curvilíneas [math] (u, v) [/math], y los desplazamientos [math]\vec u(x, y)[/math] producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos [math] r_{0}(u, v)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto [math] (u, v)[/math] de la placa después de la deformación viene dada por
[math]\vec r(u, v) = \vec r_{0}(u, v) + \vec u(u, v)[/math].
Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos [math]\vec u(u,v)=\frac{u-1/2}{\cosh^2(u)-\cos^2(v)}\vec g_{v}.[/math]
Contenido
1 Mallado del sólido
A partir de matlab, dibujamos el mallado de los puntos interiores de la placa. Con paso de muestreo 0.1, y ejes entre -4 y 4, el mallado nos queda:
u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)
figure(1)
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
mesh(Mx,My,0*Mx)
axis([-4,4,-4,4])
view(2)
Malla de la placa.
2 Líneas coordenadas
Las líneas coordenadas se obtienen al fijar una de las dos coordenadas y variar la segunda. Al no ser la base constante, irá cambiando en cada punto. La representación de dichas lineas queda de tal forma:
u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
figure(1)
Gxu=sinh(Mu).*cos(Mv);
Gyu=cosh(Mu).*sin(Mv);
Gxv=-cosh(Mu).*sin(Mv);
Gyv=sinh(Mu).*cos(Mv);
hold on
mesh(Mx,My,0*Mx);
quiver(Mx,My,Gxu,Gyu)
quiver(Mx,My,Gxv,Gyv)
hold off
3 Temperatura
La temperatura del sólido viene dada por la función [math]T(x,y)= e^{−(x^2+(y−2)^2)}[/math]. Representamos las curvas de nivel del campo T y, gráficamente, podemos ver que la temperatura será máxima en la zona con colores más intensos, es decir, en la parte superior de la placa.
u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
t=exp(-(Mx.^2+(My-2).^2))
surf(Mx,My,t)
axis([-4,4,-4,4])
view(2)
3.1 Gradiente de la temperatura
El gradiente nos indica la dirección por la cual la temperatura varía más rapido. Como podemos observar, [math]\nabla T[/math] es ortogonal a las curvas de nivel. Las flechas nos indican la dirección hacia la cual la temperatura aumenta (hacia el centro de la zona superior de la placa), y a mayor número de flechas, mayor velocidad de variación de la temperatura. Como las lineas de nivel no son equidistantes podemos deducir que el campo no experimenta una variación lineal.
[math]\nabla T = -2xe^{-(x^2+(y-2)^2)} \vec i -(2y-4)e^{-(x^2+(y-2)^2)} \vec j[/math]
u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
t=exp(-(Mx.^2+(My-2).^2))
surf(Mx,My,0*Mx)
axis([-4,4,-4,4])
view(2)
fx= (-2*Mx).*exp(-(Mx.^2+(My-2).^2))
fy=-(2*My-4).*exp(-(Mx.^2+(My-2).^2));
contour(Mx,My,t);
hold on;
quiver(Mx,My,fx,fy);
hold off;
4 Campo de desplazamientos [math]\vec u [/math]
Suponemos que una fuerza aplicada sobre la placa genera una deformación. El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante [math]t_0[/math] de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial: [math]\vec u(u,v)=\frac{u-1/2}{\cosh^2(u)-\cos^2(v)}\vec g_{v}.[/math] De esta forma, al aplicar tal campo a cada punto de nuestra placa, se originará un desplazamiento.
u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
fx=((Mu-1/2).*(-cosh(Mu).*sin(Mv)))./((cosh(Mu)).^2-(cos(Mv)).^2)
fy=((Mu-1/2).*(sinh(Mu).*cos(Mv)))./((cosh(Mu)).^2-(cos(Mv)).^2)
quiver(Mx,My,fx,fy)
axis([-4,4,-4,4])
view
4.1 Efecto del campo de desplazamientos
Una vez aplicado el campo, podemos apreciar el desplazamiento de los puntos de la placa y compararlo con la placa sin desplazar.
u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
fx=((Mu-1/2).*(-cosh(Mu).*sin(Mv)))./((cosh(Mu)).^2-(cos(Mv)).^2)
fy=((Mu-1/2).*(sinh(Mu).*cos(Mv)))./((cosh(Mu)).^2-(cos(Mv)).^2)
subplot(2,1,1)
mesh(Mx,My,0*Mx)
axis([-4,4,-4,4])
subplot(2,1,2)
mesh(Mx+fx,My+fy,0*Mx)
axis([-4,4,-4,4])
4.2 Divergencia del campo [math]\vec u [/math]
[math]\nabla· \vec{u} = 0 [/math]
Que la divergencia de nuestro campo sea 0 nos indica que el desplazamiento de los puntos de la placa no provoca un cambio de volumen en la misma.
4.3 Rotacional del campo [math]\vec u [/math]
[math]\nabla \times\vec{u}= \frac{1}{\cosh^2(u)-cos^2(v)} [/math]
El rotacional de un campo nos indica la capacidad que tienen los puntos de nuestra placa para girar sobre un determinado punto. Se puede observar que los puntos interiores, a lados izquierdo y derecho principalmente, sufren un mayor rotacional, es decir, tendrán una mayor capacidad de giro.
5 Campo de desplazamientos [math]\vec u' [/math]'
A su vez, vamos a utilizar el campo [math]\vec u'(u,v)=-\frac{u-1/2}{\cosh^2(u)-\cos^2(v)}\vec g_{u}[/math]. La representación de dicho campo sería esta:
5.1 Deformación provocada por el campo
Al aplicar dicho campo a nuestra placa y comparando su estado inicial al final, se puede observar la deformación que produce a los puntos de la placa.
5.2 Divergencia del campo [math]\vec u' [/math]
[math]\nabla· \vec{u} =\frac{1}{\cosh^2(u)-cos^2(v)} [/math]
5.3 Rotacional del campo [math]\vec u' [/math]
[math] \nabla \times\vec{u'}= 0 [/math]
6 Masa de la placa
Siendo [math] d(x,y)=xe^{\frac{-1}{y^2}} [/math] la densidad de la placa, calculamos la masa de la misma, pasando primero a nuestras coordenadas curvilíneas. Al no poderse integrar directamente, la calculamos por aproximación mediante MATLAB.
h=1/1000;
u=[1/2:h:2];
v=[0:h:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
d=((cosh(Mu).^2)-(cos(Mv).^2)).*(cosh(Mu).*cos(Mv)).*exp((-1)./(sinh(Mu).^2).*(sin(Mv).^2));
a=h^2*d;
masa=sum(sum(a))Masa = 1.5983
6.1 Centro de masas de la placa
Calculamos las coordenadas [math]x[/math] e [math] y[/math] del centro de masas integrando de la misma forma:
h=1/1000;
u=[1/2:h:2];
v=[0:h:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v);
d=((cosh(Mu).^2)-(cos(Mv).^2)).*(cosh(Mu).*cos(Mv)).*exp((-1)./(sinh(Mu).^2).*(sin(Mv).^2));
a=h^2*d;
masa=sum(sum(a))
dx=(cosh(Mu).*cos(Mv)).*((cosh(Mu).^2)-(cos(Mv).^2)).*(cosh(Mu).*cos(Mv)).*exp((-1)./(sinh(Mu).^2).*(sin(Mv).^2));
b=h^2*dx;
xc=(sum(sum(b)))./masa
dy=(sinh(Mu).*sin(Mv)).*((cosh(Mu).^2)-(cos(Mv).^2)).*(cosh(Mu).*cos(Mv)).*exp((-1)./(sinh(Mu).^2).*(sin(Mv).^2));
c=h^2*dy;
yc=(sum(sum(c)))./masa
xc = 93.8347
yc = 0.1359
