Movimiento de un sistema de partículas (GRUPO 9C)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Movimiento de un sistema de partículas (GRUPO 9C)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2014-15
Autores	Bartol Calderón, María De los Reyes Suárez, Álvaro Modet Benjumea, Laura Salvador Mejías, María Santiago Ruiz, Margarita Suta, Larisa Elena
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Se considera un conjunto de diez partículas inicialmente situadas en los puntos de coordenadas (xi,yi,zi)=((i-1)/5,sen(π(i-1)/4,π(i-1)/30), i=1,2,3...,10 respecto a la base ortonormal {e₁,e₂,e₃}. Las partículas se encuentran unidas por alambres de masa despreciable de forma que su posición relativa no cambia.

En la siguiente figura se observa el sistema de partículas, cuyos ejes están fijados en la región [-2,2]x[-2,2]x[-2,2].

Sistema de partículas.

El código en MATLAB para obtener la gráfica del sistema sería:

%Creamos una matriz de 3*10 en la que cada columna tiene las coordenadas de un punto
N=zeros(3,10);
for i=1:10
N(1,i)=(i-1)/5;
N(2,i)=sin(pi*(i-1)/4);
N(3,i)=pi*(i-1)/30;
end
% Generamos 3 vectores que contengan las coordenadas X, Y y Z de los puntos
x=N(1,:);
y=N(2,:);
z=N(3,:);
% Dibujamos los vectores con plot3
clf %Por si existía alguna gráfica anterior
plot3(x,y,z,'.')
% Ponemos los ejes según la región fijada
axis([-2,2,-2,2,-2,2])

2 RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA

2.1 Obtención del centro de masas

Calculamos el centro de masas del sistema de partículas sabiendo que la masa de todas las partículas tiene un valor conocido e igual a 10.

El código utilizado en MATLAB para obtener dicho centro de masas sería:

%Generamos una matriz de 3*10 en la que cada columna tiene las coordenadas de un punto
N=zeros(3,10);
for i=1:10
N(1,i)=(i-1)/5;
N(2,i)=sin(pi*(i-1)/4);
N(3,i)=pi*(i-1)/30;
end
% Creamos 3 vectores que contengan las coordenadas X, Y y Z de los puntos
x=N(1,:);
y=N(2,:);
z=N(3,:);
% Dibujamos los puntos con plot3
clf %Por si existía alguna gráfica anterior
hold on % Para añadir el centro de masas
plot3(x,y,z,'.')
% Ponemos los ejes según la región fijada
axis([-2,2,-2,2,-2,2])
% Calculamos los centros de gravedad
xx=sum(x)/10;
yy=sum(y)/10;
zz=sum(z)/10;
% Por último lo dibujamos
plot3(xx,yy,zz,'g.')
hold off

La gráfica obtenida sería:

Sistema de partículas y centro de masas.

2.2 Matriz de rotación con eje ω y ángulo θ= π/16

Si elegimos como eje de rotación ω=e₃ y como ángulo θ= π/16, la matriz de componentes asociada a dicha rotación y los puntos del sistema rotados se obtienen introduciendo en MATLAB el siguiente código

%Creamos una matriz de 3*10 en la que cada columna tiene las coordenadas de un punto
N=zeros(3,10);
for i=1:10
N(1,i)=(i-1)/5;
N(2,i)=sin(pi*(i-1)/4);
N(3,i)=pi*(i-1)/30;
end
% Rotaciones
tt=pi/16
Re1=[1 0 0;0 cos(tt) -sin(tt);0 sin(tt) cos(tt)] % Rotación sobre e1
Re2=[cos(tt) 0 sin(tt);0 1 0;-sin(tt) 0 cos(tt)] % Rotación sobre e2
Re3=[cos(tt) -sin(tt) 0;sin(tt) cos(tt) 0;0 0 1] % Rotación sobre e3
% Rotacion sobre e1+e2+e3
R4=[1 1-cos(tt)-sin(tt) 1-cos(tt)+sin(tt);1-cos(tt)+sin(tt) 1 1-cos(tt)-sin(tt);1-cos(tt)-sin(tt) 1-cos(tt)+sin(tt) 1]
% En este paso elegimos que rotación multiplicamos por los puntos (Re1, Re2 o Re3)en función de los que nos piden calcular
N=Re3*N
% Creamos 3 vectores que contengan las coordenadas X, Y y Z de los puntos
x=N(1,:);
y=N(2,:);
z=N(3,:);
% Los dibujamos con plot3
clf 
plot3(x,y,z,'.')
% Ponemos los ejes como nos dicen
axis([-2,2,-2,2,-2,2])

El programa de MATLAB nos proporciona la matriz de componentes y la gráfica de los puntos rotados.

Matriz de componentes asociada a la rotación de eje e₃ y ángulo θ= π/16.

5 APARTADO 6

El momento angular o momento cinético es una magnitud física que bajo ciertas condiciones de simetría rotacional de los sistemas se mantiene constante con el tiempo a medida que el sistema evoluciona, lo cual da lugar a una ley de conservación conocida como Ley de conservación del momento angular. El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos angulares de cada una:

L=∑ r¡ × m¡v¡

Si los puntos se mueven con una velocidad angular w y se sustituye la siguiente expresión v¡= w × r¡

L=∑ r¡ × m¡v¡ = ∑ r¡ × m¡(w × r¡) = ∑ m¡ [ r¡ × (w × r¡)] = ∑ m¡ [(r¡r¡)w - (r¡w)r¡] = ∑ m¡ [(r¡r¡)1 - r¡⊗r¡]w = (∑ Io)w = Iw

siendo Io = (∑ m¡ )[(r¡r¡)w - (r¡w)r¡] el tensor de inercia 

por lo que el momento angular de un sistema de particulas se puede expresar como L = Iw

A continuación se va a representar un programa que calcule las componentes del tensor I en la base cartesiana suponiendo que w = e₃

T=[0 0 0;0 0 0;0 0 0];
Ti=[0 0 0;0 0 0;0 0 0];
x=0;
y=0;
z=0;
m=10;
%rotacion alrededor de e3.
for i=1:10;
    r=[(i-1)/5,sin(pi*(i-1)/4),pi*(i-1)/30];
      for j=1:3;
          for k=1:3;
              if j==k;
                  Ti(1,1)=0
                  Ti(2,2)=0
                  Ti(3,3)=((r(1)^2)+(r(2)^2));
              else
                  Ti(1,2)=0
                  Ti(1,3)=-(r(j)*r(k));
                  Ti(2,1)=0
                  Ti(2,3)=-(r(j)*r(k));
                  Ti(3,1)=-(r(j)*r(k));
              end
          end
      end
      T=T+Ti;
end

6 APARTADO 7

La energía cinética de un cuerpo es aquella energía que posee debido a su movimiento. Se define como el trabajo necesario para acelerar una masa determinada desde el reposo hasta alcanzar una velocidad . Una vez conseguida esta energía durante la aceleración, el cuerpo mantiene su energía cinética salvo que cambie su velocidad.

7 TENSOR DE INERCIA

Sea una base vectorial, a la que denominaremos B. El tensor de inercia es un tensor ligado a un punto, que se toma como origen. Al variar dicho punto, se obtendrá un tensor distinto, lo cual definirá un campo tensorial. A cada punto P, le corresponde un tensor Ip en la base B. Se pide demostrar dicho campo tensorial

Ip = Ig + m(||ā||²1 − ā ⊗ ā)