Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 2-A)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 2-A)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2014-15 Arévalo Lecanda, Javier Bezares Planells, Catalina Buitrago Peña, Marcos Jiménez Ocampo, Estefanía López Gilabert, Tamara
Autores	{{{4}}}
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Visualización de un sistema de partículas

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso tenemos 10 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = ((i − 1)/5,sin(π(i − 1)/4), π(i −1)/30), i = 1, 2, ..., 10 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

Visualizacion de un sistema de particulas

i=(1:10); 
x=(i-1)/5;  %Coordenadas x de las partículas según i
y=sin(pi*(i-1)/4);  %Coordenadas y de las partículas según i
z=pi*(i-1)/30;%Coordenadas z de las partículas según i
f=[x;y;z];  % coordenadas de las partículas según i
plot3(f(1,:),f(2,:),f(3,:),'o-','MarkerFaceColor','b')   % Dibujar las partículas en azul unidas por un alambre
axis([-2,2,-2,2,-2,2])  % Ejes fijados en la región [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]

2 Centro de masas de un sistema de particulas

2.1 Formula del centro de masas

En nuestro caso tenemos 10 particulas y cada particula tiene la misma masa mi=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas : (∑_iⁿr_im_i)/M donde M es la masa total (10×10=100) y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. La funcion que usaremos es la siguiente;

function [cx,cy,cz] = CentroMasa(x,y,z)
%CentroMasa Coje un cierto numero de puntos con cordenadas en x,y,z y devuele su centro de masas
m=10; % Masa de una particula
M=100; % Masa de las 10 particulas
cx=0; cy=0; cz=0;    % Damos un valor inicial de 0 a las coordenadas del centro de masas
for i=1:10 
    cx=cx+x(i)*m; %Sumatorio de las coordenadas x de las particulas por su masa
    cy=cy+y(i)*m; %Sumatorio de las coordenadas y de las particulas por su masa
    cz=cz+z(i)*m; %Sumatorio de las coordenadas z de las particulas por su masa
end
cx=cx/M; %Centro de masas en la coordenada x
cy=cy/M; %Centro de masas en la coordenada y
cz=cz/M; %Centro de masas en la coordenada z
end

El centro de masas obtenido es

   cx=0.9000
   cy=0.0707
   cz=0.4712

2.2 Visualicacion del centro de masas

Implementando esta funcion a nuestro codigo de obtenemos lo siguiente:

Visualicacion del centro de masas

hold on
i=(1:10); %Variable i
x=(i-1)/5;  %Coordenadas x de las particulas segun i
y=sin(pi*(i-1)/4);  %Coordenadas y de las particulas segun i
z=pi*(i-1)/30;%Coordenadas z de las particulas segun i
[cx,cy,cz]=CentroMasa(x,y,z); %Usamos la funcion para calcular el centro de masas
f=[x;y;z];% Coordenadas de las particulas segun i
plot3(cx,cy,cz,'o','MarkerFaceColor','g') %Dibujamos el centro de masas de las particulas en verde
plot3(f(1,:),f(2,:),f(3,:),'o-','MarkerFaceColor','b')% Dibujamos las particulas
axis([-2,2,-2,2,-2,2])  % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off

3 Rotacion de un sistema de particulas

3.1 Matriz Rotacion con eje ω=e₃ y angulo θ= π/16

Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e₃ y angulo θ= π/16. Para conseguir esta matriz hemos usado el siguiente codigo:

% La Matriz de rotacion, R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux
v=[0 0 1]; %Introducimo el eje de giro
t=pi/16;  %Introducimos el angulo de giro
w=v/sqrt(sum(v.^2));    %Convierte el eje de giro en un vector unitario
R1=eye(3)*cos(t); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(w,w')*(1-cos(t));  % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -w(3) w(2); w(3) 0 -w(1);-w(2) w(1) 0]*sin(t);  % Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux
R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);

La matriz de rotacion R obtenida es:

   0.9808   -0.1951         0
   0.1951    0.9808         0
        0         0    1.0000

3.2 Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e₃ y angulo θ= π/16

Para poder entonces visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.

Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e₃ y angulo θ= π/16

i=(1:10); 
x=(i-1)/5;  %Coordenadas x de las particulas segun i
y=sin(pi*(i-1)/4);  %Coordenadas y de las particulas segun i
z=pi*(i-1)/30;%Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z];  % coordenadas de las particulas segun i
R=[0.9808 -0.1951 0; 0.1951 0.9808 0; 0  0 1.0000];
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R)'; % Rota las particulas
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r')   % Dibujar las particulas
axis([-2,2,-2,2,-2,2])  % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]

3.3 Matriz Rotacion con eje ω = e₁,e₂,e₁+e₂+e₃ y angulo θ= π/16

Para poder generar la matriz de rotacion con eje ω = e₁,e₂,e₁+e₂+e₃ y angulo θ= π/16 usamos un procedimiento analogo al anterior aunque ahora nuestra rotacion esta compuesta por tres rotaciones: una primera con eje ω = e₁ y angulo θ= π/16 ; Una segunda con eje ω = e₂ y angulo θ= π/16; Y una ultima con eje ω =e₁+e₂+e₃ y angulo θ= π/16. Para obtener esta matriz usamos el codigo:

% La Matriz de rotacion, R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux
t=pi/16;  %Introducimos el angulo de giro
v1=[1 0 0]; %Introducimos el primer eje de giro
v2=[0 1 0]; %Introducimos el segundo eje de giro
v3=[1 1 1]; %Introducimos el tercer eje de giro
w1=v1/sqrt(sum(v1.^2));    %Convierte el primer eje de giro en un vector unitario
w2=v2/sqrt(sum(v2.^2));    %Convierte el segundo eje de giro en un vector unitario
w3=v3/sqrt(sum(v3.^2));    %Convierte el tercer eje de giro en un vector unitario
R1=eye(3)*cos(t); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
%Calculamos la primera rotacion
U2=kron(w1,w1')*(1-cos(t));  % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
U3=[0 -w1(3) w1(2); w1(3) 0 -w1(1);-w1(2) w1(1) 0]*sin(t);  % Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux
U=R1+U2+U3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
%Calculamos la segunda rotacion
T2=kron(w2,w2')*(1-cos(t));  % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
T3=[0 -w2(3) w2(2); w2(3) 0 -w2(1);-w2(2) w2(1) 0]*sin(t);  % Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux
T=R1+T2+T3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
%Calculamos la tercera rotacion
S2=kron(w3,w3')*(1-cos(t));  % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
S3=[0 -w3(3) w3(2); w3(3) 0 -w3(1);-w3(2) w3(1) 0]*sin(t);  % Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux
S=R1+S2+S3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
%Calculamos la rotacion entera
R=U*T*S;
disp(R);

La matriz de rotacion R obtenida es:

   0.9475   -0.0810    0.3093
   0.1747    0.9414   -0.2885
  -0.2679    0.3274    0.9061

3.4 Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω = e₁,e₂,e₁+e₂+e₃ y angulo θ= π/16

Para visualizar el sistema de puntos rotados usamos el analogo a lo que hicimos anteriormente solo que ahora tenemos una matriz de rotacion distinta. El codigo que hemos usado es el siguiente:

Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω = e₁,e₂,e₁+e₂+e₃ y angulo θ= π/16

i=(1:10); 
x=(i-1)/5;  %Coordenadas x de las particulas segun i
y=sin(pi*(i-1)/4);  %Coordenadas y de las particulas segun i
z=pi*(i-1)/30;%Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z];  % coordenadas de las particulas segun i
v=[0 0 1]; %Introducimo el eje de giro
t=pi/16;  %Introducimos el angulo de giro
w=v/sqrt(sum(v.^2));    %Convierte el eje de giro en un vector unitarios
R=[0.9475,-0.0810,0.3093; 0.1747,0.9414,-0.2885; -0.2679,0.3274,0.9061];
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R)'; % Rota las particulas
figure(1)
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r')   % Dibujar las particulas
axis([-2,2,-2,2,-2,2])  % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]

4 Velocidad de los puntos del sistema

4.1 Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

Un tensor es antisimétrico si

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

de donde se obtiene la matriz antisimétrica definida como:

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

4.2 Demostracción que el vector axial asociado a A es θ^'(t)ϖ

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo.

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular.

La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que:

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

De donde se deduce que

5 Dibujar los vectores velocidad de las partículas cuando ϖ=e₃

Para poder dibujar los verctores velocidad de las particulas primero tenemos que calcularlo. Como nos dicen que θ varia con el tiempo nuestro vector posicion r tambien lo hara. r(t)=cos(t)xi+sin(t)yj+zk. Para sacar el vector velocidad tenemos que derivar el vector posicion respecto al tiempo: v(t)=-sin(t)xi +cos(t)yj. El codigo que hemos usado para visualizarlo es el siguiente

Visualizacion del vector de velocidad

i=(1:10); 
x=(i-1)/5;                               %Coordenadas x de las particulas segun i
y=sin(pi*(i-1)/4);                                %Coordenadas y de las particulas segun i
z=pi*(i-1)/30;                              %Coordenadas z de las particulas segun i
t=zeros(1,10);                              %valor inicial de la t para todos los puntos
u=-sin(t);                               %componente de la i del vector velocidad
v=cos(t);                               %componente de la j del vector velocidad
w=zeros(1,10);                               %componente de la k del vector velocidad
hold on
quiver3(x,y,z,u,v,w);                               %dibuja los vectores
f=[x;y;z];                                % coordenadas de las particulas segun i
plot3(f(1,:),f(2,:),f(3,:),'o-','MarkerFaceColor','b')                                 % Dibujar las particulas
axis([-2,2,-2,2,-2,2])                                % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]

6 Momento angular de un sistema de partículas

El momento angular de un sistema de diez partículas, que tienen un vector de desplazamiento r_i, masa igual a m_i, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad v_i; este momento lineal se define como [math]L=sum r\ltsub\gti\lt/sub\gt x m\ltsub\gti\lt/sub\gtv\ltsub\gti\lt/sub\gt\ltmath\gt. A continuación, se demuestra que el momento lineal se puede expresar como: \ltmath\gtL=Iw\ltmath\gt, para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad v\ltsub\gti\lt/sub\gt por \ltmath\gtw x r\ltsub\gti\lt/sub\gt\ltmath\gt. [[Archivo:E_L_T_19.jpg|izquierda]] ===Calculo del tensor de inercia=== Para calcular la expresión tensorial de I y sus componentes en la base {ē\ltsub\gt1\lt/sub\gt,ē\ltsub\gt2\lt/sub\gt,ē\ltsub\gt3\lt/sub\gt} usaremos el siguiente codigo; {{matlab|codigo= Xg=0.9000; %coordenada del centro de masas del sistema en X Yg=0.0707; %coordenada del centro de masas del sistema en Y Zg=0.4712; %coordenada del centro de masas del sistema en Z M=100; %masa total v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1 I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia }} El tensor de inercia calculado es : 22.7028 -6.3630 -42.4080 -6.3630 103.2029 -3.3314 -42.4080 -3.3314 81.4998 ===Calculo del momento angular=== Para calcular el momento angular usamos la formula: L=I·ω siendo ω=ē\ltsub\gt3\lt/sub\gt. El codigo usado es: {{matlab|codigo= I=[22.7028 -6.3630 -42.4080; -6.3630 103.2029 -3.3314; -42.4080 -3.3314 81.4998]; %Momento de inecia calculado del sistema de particulas w=[0 0 1]; %Velocidad angular L=I*w' %Momento angular del sistema }} El momento angular calculado es: -42.4080 -3.3314 81.4998 ===Conclusiones=== El momento angular de un sistema de partículas se conserva en ausencia de momentos externos. Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias. Es importante destacar que para calcular la suma de los momentos de las fuerzas externas es necesario calcular el momento de cada una de las fuerzas y luego sumarlos todos vectorialmente, es decir, no es válido sumar primero las fuerzas externas y luego calcular el momento de la resultante. En un sistema aislado se conserva el momento angular Esto quiere decir que si en un sistema aislado parte del sistema varía su momento angular debido a fuerzas internas, el resto del sistema sufrirá una variación de momento que cancele la anterior. == Energía cinética del sistema de partículas == Llamemos r\ltsub\gti\lt/sub\gt al radiovector de un cierto punto del sólido, visto desde el sistema inercial r\ltsub\gtCM\lt/sub\gt a la posición del centro de masas (CM) del sólido y r al mismo punto visto desde el sistema de referencia situado en el centro de masas (CM): [[Archivo:E_L_T_4.jpg|izquierda]] Derivando respecto al tiempo [[Archivo:E_L_T_5.jpg|izquierda]] Si el sólido gira, la velocidad es distinta de cero, pero ya que se trata de un movimiento de rotación, es más conveniente escribir [[Archivo:E_L_T_9.jpg|izquierda]] donde w es un vector cuya magnitud indica la velocidad de giro y cuya dirección es la del eje respecto al cual se produce el giro. La energía cinética del sólido será [[Archivo:E_L_T_10.jpg|izquierda]] donde 10 es el número de partículas que lo componen. Es más conveniente tratar el sólido como un medio continuo. En lugar de sumar sobre las partículas, hemos de integrar sobre elementos de masa [[Archivo:E_L_T_11.jpg|izquierda]] siendo ρ la densidad del medio. Así, [[Archivo:E_L_T_12.jpg|izquierda]] donde v\ltsub\gtI\lt/sub\gt es la velocidad que tiene, en un instante dado, el elemento de volumen d3r con masa la indicada anteriormente. Escribiendo v\ltsub\gtI\lt/sub\gt en términos de v\ltsub\gtCM\lt/sub\gt y v. [[Archivo:E_L_T_13.jpg|izquierda]] Dividiendo la integral anterior en tres subintegrales deducimos que la que se necesita para dicha demostración es la Ec3. Las integrales resultantes son: [[Archivo:E_L_T_14.jpg|izquierda]] Desarrollando el producto vectorial, podemos reescribir el último término como: [[Archivo:E_L_T_15.jpg|izquierda]] donde x\ltsub\gti\lt/sub\gt son las componentes cartesianas de r. Por tanto [[Archivo:E_L_T_16.jpg|izquierda]] Es conveniente introducir la delta de Kronecker para extraer w\ltsub\gti\lt/sub\gtw\ltsub\gtj\lt/sub\gt Introduciendo la cantidad I\ltsub\gtij\lt/sub\gt denominada tensor de inercia, [[Archivo:E_L_T_17.jpg|izquierda]] la expresión de Ec3 adquiere la forma sencilla [[Archivo:E_L_T_18.jpg|izquierda]] ===Calculo de la energia cinetica=== Para calcular la energia cinetica usamos la formula anterior, el codigo es simplemente: {{matlab|codigo= I=[22.7028 -6.3630 -42.4080; -6.3630 103.2029 -3.3314; -42.4080 -3.3314 81.4998]; %Momento de inecia calculado del sistema de particulas w=[0 0 1]; %Velocidad angular Ec=0.5*(w*I*w') %Energia cinetica }} La energia cinetica calculada es: 40.7499 ==Apartado 8== ==apartado9== == Calculo del tensor de inercia de un solido == Nuestro solido esta definido de la siguiente manera: Su base es la placa plana con forma de anillo circular centrado en el origen y comprendido entre los radios 100 y 200 (centimetros). Luego tiene 20 centimetros de grosor y su densidad d depende del radio, es decir que d(ρ, θ, z) = 1/ρ Kg/cm\ltsup\gt3\lt/sup\gt. === Calculo de la masa total === Para calcular la masa total del solido tenemos que integrar su volumen por su densidad. Esto nos da una integral triple que resolveremos en cilindricas. Como hacemos el cambio a cilindricas tenemos que multiplicar la integral por el jacoviano que es ρ por lo que la integral a calcular es ρ/ρ=1. Para Calcular esta integral en matlab hemos descompuesto la integral triple en una simple y otra doble. {{matlab|codigo= N=1000; %Numero de puntos intermedios ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particionf=ones(N+1,1); f=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple (1) i=ones(N+1,N+1); %Funcion de la integral doble (1) w=ones(N+1,1); w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; int1=h*w'*f %Resultado de la integral simple int2=h1*h2*w'*i*w %Resultado de la integral doble int3=int1*int2 %Resultado de la integral triple (masa total) }} La masa en kg es igual a 1.2566e+04 === Calculo del centro de masas === Para calcular el centro de masas hemos tenido que calcular las coordenadas de Xg,Yg,Zg. Para esto hemos tenido que calcular tres integrales triples que a su vez hemos descompuesto en tres integrales simples. {{matlab|codigo= N=1000; %Numero de puntos intermedios M=12566; %Masa total ro1=100; ro2=200; teta1=0; teta2=2*pi; z1=0; z2=20; %Extremos de intervalos en cm h=(z2-z1)/N; h1=(ro2-ro1)/N; h2=(teta2-teta1)/N; %Longitud de cada particion r=z1:h:z2; s=ro1:h1:ro2; t=teta1:h2:teta2; %Coordenadas de la particion [ro,teta]=meshgrid(s,t); w=ones(N+1,1); w(1)=1/2; w(N+1)=1/2; %Funciones para la coordenada de Xg fx1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1) fx2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro) fx3=cos(teta); %Funcion de la integral simple de teta (cos(teta)) %Funciones para la coordenada de Yg fy1=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de z (1) fy2=ro; %Funcion de la integral simple de ro (ro) fy3=sin(teta); %Funcion de la integral simple de teta (sin(teta)) %Funciones para la coordenada de Zg fz1=r'; %Funcion de la integral simple de z (z) fz2=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de ro (1) fz3=ones(N+1,1); %Funcion de la integral simple de teta (1) %Calculo de la coordenada de Xg intx1=h*w'*fx1; %Resultado de la integral simple de z intx2=h1*w'*fx2*w; %Resultado de la integral simple de ro intx3=h2*w'*fx3*w; %Resultado de la integral simple de teta xg=intx1*intx2*intx3/M %Coordeanda de Xg %Calculo de la coordenada de Yg inty1=h*w'*fy1; %Resultado de la integral simple de z inty2=h1*w'*fy2*w; %Resultado de la integral simple de ro inty3=h2*w'*fy3*w; %Resultado de la integral simple de teta yg=inty1*inty2*inty3/M %Calculo de la coordenada de Zg intz1=h*w'*fz1; %Resultado de la integral simple de z intz2=h1*w'*fz2; %Resultado de la integral simple de ro intz3=h2*w'*fz3; %Resultado de la integral simple de teta zg=intz1*intz2*intz3/M }} El resultado nos da Xg =-1.1148e-08 Yg =5.2383e-09 Zg =10.0003 Como hemos usado la Formual del Trapecio en nuestras integrales el resultado es aproximado pero podriamos concluir que es Xg=0 Yg=0 Zg=10 === Calculo del tensor de inercia respecto al centro de masas === Una vez calculado la masa y el centro de masas es facil calcular el tensor de inercia. Este ultimo esta definido como I=M[(r·r)*1-r×r]. Siendo M la masa total; r el vector que une el centro con el centro de masas; r·r el producto escalar de r; 1 el tensor metrico y r×r el producto tensorial entre r y r . Para calcular este tensor hemos usado el siguiente codigo: {{matlab|codigo= Xg=0; %coordenada de centro de masas en X Yg=0; %coordenada de centro de masas en Y Zg=10; %coordenada de centro de masas en Z M=12566; %masa total v=[Xg,Yg,Zg]; %vector que une el centro con el centro de masas I1=(v*v')*eye(3); %Parte del tensor que coresponde con (r·r)*1 I2=kron(v,v'); %Parte del tensor que coresponde con r×r I=(I1-I2)*M %Tensor de Inercia }} El tensor obtenido es el 1256600 0 0 0 1256600 0 0 0 0[/math]