Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)
Contenido
1 INTRODUCCIÓN
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones. Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.
2 CONDICIONES GENERALES
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.
clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
Mallado de la placa rectangular
3 CAMPO DE TEMPERATURA
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2 En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
3.1 DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
Distribución de la temperatura
3.2 VARIACIÓN DE TEMPERATURA
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente. El gradiente en nuestro caso es [math]\nabla T[/math] =-2x.[math]e^(-x^2)\,[/math](8-[math]y^2 [/math]+2y)[math]\vec{i} [/math]+(-2y+2)[math]e^(-x^2)\,[/math][math]\vec{j} [/math]
Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
4 CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada. Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos [math]\vec{U} [/math]definido como: [math]\vec{U}=y^2/2\vec{j} [/math] Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
4.1 DIVERGENCIA DE [math]\vec{U} [/math]
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería: [math] \nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+ \frac{\partial U_z}{\partial z} [/math] Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así: [math] \nabla\cdot\vec U = (y^2)/5 [/math]
4.2 ROTACIONAL DE [math]\vec{U} [/math]
El rotaciones de un campo vectorial es un operador vectorial que muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto. Como mencionamos anteriormente, nuestro campo esta expresado en coordenadas cartesianas por lo que debemos buscar la forma más concisa para su cálculo. Ayudándonos del operador nabla como un producto vectorial, podemos obtenerlo calculando su determinante, que aunque esta expresión carezca de sentido, ya que no se trata de un determinante en realidad, nos ayuda a recordar fácilmente la expresión de rotacional, que sería: [math] \nabla\times \vec U=\left| \begin{matrix} \hat x & \hat y & \hat z \\ & & \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ & & \\ U_x & U_y & U_z \end{matrix}\right| [/math] Sustituyendo debidamente las incógnitas de dicha expresión, llegamos a que el rotacional en este campo es nulo, lo que implica que las deformaciones que representa este campo no tienden a rotar en ninguno de los puntos de la placa. Por lo que: [math] \nabla\times \vec U=\left| \begin{matrix} \hat x & \hat y & \hat z \\ & & \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ & & \\ U_x & U_y & U_z \end{matrix}\right|=0 [/math]
5 TENSIONES DE LA PLACA
El conjunto de tensiones que puede sufrir un cuerpo, se pueden representar matemáticamente gracias al tensor de tensiones, pues representará el valor de las nueve tensiones posibles en cada punto del mismo. En el siguiente esquema se adjuntan las nueve tensiones diferentes y el lugar que tienen en el tensor de tensiones:
[math] [σ]_{xyz} =\begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{bmatrix} [/math]
En nuestro caso, el tensor de tensiones de nuestra placa tendría la siguiente expresión: [math] [σ]_{xyz} =\begin{bmatrix} y/5& 0 & 0 \\ 0 & (3×y)/5 & 0 \\ 0 & 0 & y/5 \end{bmatrix} [/math]
5.1 TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN [math]\vec{i} [/math]
Estas tensiones estarían situadas en la fila 1 y columna 1 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es: [math]\sigma_x=y/5[/math] Esto quiere decir que en la dirección del eje x, las tensiones normales aumentarían proporcionalmente al aumentar el valor de y, es decir, que en el extremo superior de la placa obtendremos las mayores tensiones.
5.2 TENSIONES NORMALES EN LA DIRECCIÓN [math]\vec{j} [/math]
Estas tensiones estarían situadas en la fila 2 y columna 2 de la matriz del tensor de tensiones, por lo que su valor es: [math]\sigma_y=y×(3/5)[/math]
