Análisis del comportamiento de una placa rectangular sometida a un campo de temperaturas y desplazamientos. (Grupo 26)
Contenido
1 INTRODUCCIÓN
Este trabajo esta focalizado en el estudio físico de una placa rectangular de dos dimensiones. Este estudio se realiza analizando la temperatura y las deformaciones tratandolos como campos vectoriales.
2 CONDICIONES GENERALES
El estudio como mencionamos antes se realiza sobre una placa rectangular que abarca la región [-0.5;0.5]x[0;2] . Para representarla usaremos el software científico de visualización MATLAB.
clear all
h=0.1;
u=-0.5:h:0.5;
v=0:h:4; % Definimos la región [-0,5;0;5]x[0;4]
[uu,vv]=meshgrid(u,v); % Mallado
figure(1)
xx=uu;
yy=vv;
mesh(xx,yy,0*xx) % Dibujamos el mesh
axis([-2,2,-1,5]) % Definimos la regiÛn de dibujo
view(2) % El dibujo en planta
Mallado de la placa rectangular
3 CAMPO DE TEMPERATURA
La temperatura de la placa esta distribuida mediante un campo escalar que depende de las dos variables espaciales (x,y), el campo escalar es T (x, y) = (8 − y2 + 2y)e−x2 En esta función el punto de máxima temperatura se sitúa en el punto (0,1) con una temperatura de 9 u.
3.1 DISTRIBUCIÓN DE TEMPERATURAS
Analizando el campo escalar, veremos que depende de forma exponencial de la variable "x", por lo que cuanto más nos alejemos del centro, menos temperatura habrá. En la variable “Y” la relación es parabólica, siendo una parábola cóncava hacia abajo y cuyo centro está en el punto 1, por lo que entendemos que el punto de mayor temperatura sea el (0,1).Para poder ilustrar esta distribución de temperaturas, adjuntamos el siguiente código MATLAB junto con su gráfico.
x=-0.5:0.1:0.5; % definimos el intervalo [-1/2,1/2]
y=0:0.1:4; % definimos el intervalo [0,2]
[xx,yy]=meshgrid(x,y); % matrices de x e y
figure(1)
T=(8-(yy).*(yy)-2.*(yy)).*(exp(-(xx).*(xx))); % Campo escalar
surf(xx,yy,T) % Dibujar el campo
hold on % dibujamos el lÌmite inferior
plot(xx,yy,'k','linewidth',1);
axis([-2,2,-1,5]) % seleccionamos una regiÛn de dibujo
view(2) % Vemos el dibujo en planta
Distribución de la temperatura
3.2 VARIACIÓN DE TEMPERATURA
La variación de la temperatura como cualquier campo escalar, se estudia analizando su gradiente. El gradiente en nuestro caso es [math]\nabla T[/math] =-2x.[math]e^(-x^2)\,[/math](8-[math]y^2 [/math]+2y)[math]\vec{i} [/math]+(-2y+2)[math]e^(-x^2)\,[/math][math]\vec{j} [/math]
Ahora representamos este campo vectorial junto a las curvas de nivel:
h=0.1;
x=-0.5:h:0.5;
y=0:h:4;
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
%Como ya tenemos definida la malla y el campo T, calculamos directamente el gradiente
Tx=-2*xx.*exp(-(xx).*(xx)).*(8-(yy).*(yy)-2*(yy));
Ty=(-2*(yy)+2).*exp(-(xx).*(xx));
%Dibujamos el Vector gradiente (figura 3)
quiver(xx,yy,Tx,Ty)
hold on
contour(xx,yy,T) % lineas de nivel
plot(x,x-x,'m','linewidth',1);
plot(x,2+x-x,'m','linewidth',1);
plot(-0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
plot(0.5+y-y,y,'m','linewidth',1);
axis([-1,1,-0.5,5]) %Numeramos los ejes
Representación del vector gradiente y las curvas de nivel
4 CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS
Nuestra placa sufre desplazamientos debido a la acción de una fuerza determinada. Estos desplazamientos se representan mediante el vector de desplazamientos [math]\vec{U} [/math]definido como: [math]\vec{U}=y^2/2\vec{j} [/math] Este vector representa el desplazamiento de cada punto de la placa que mediante el código MATLAB que se adjunta podremos representarlo en la siguiente gráfica:
4.1 DIVERGENCIA DE [math]\vec{U} [/math]
La divergencia en nuestro caso, se refiere a un campo vectorial expresado en coordenadas cartesianas, por lo que su expresión sería: [math] \nabla\cdot\vec U = \frac{\partial U_x}{\partial x}+ \frac{\partial U_y}{\partial y}+ \frac{\partial U_z}{\partial z} [/math] Y aplicándolo a nuestro campo vectorial la expresión de la divergencia sería así: [math] \nabla\cdot\vec U = (y^2)/5 [/math]
