Visualización de campos en elasticidad en una placa plana

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Visualización de campos en elasticidad en una placa plana. Grupo 24-C
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2014-15
Autores	Luis Moreno López, Alejandro Martínez Gamonal, Carlos Zay Pinilla, Mario López Andrés
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

Consideramos una placa plana (en dimensión 2) que ocupa la región comprendida entre dos elipses. Para representarla usaremos el sistema de coordenadas elíptico, que se adapta a la geometíıa que nos dan

[math] x = \cosh(u) \cos(v) [/math]

[math] y = \sinh(u) \sin(v) [/math]

con [math] u, v [/math] definidas en [math] (u, v) ∈ [1/2, 2] × [0, 2 ∗ pi) [/math].

En ella vamos a suponer que tenemos definidas dos cantidades físicas: la temperatura [math] T(u, v) [/math], que depende de las dos coordenadas curvilíneas [math] (u, v) [/math], y los desplazamientos [math]\vec u(x, y)[/math] producidos por la acción de una fuerza determinada. De esta forma, si definimos [math] r_{0}(u, v)[/math] el vector de posición de los puntos de la placa antes de la deformación, la posición de cada punto [math] (u, v)[/math] de la placa después de la deformación viene dada por

[math]\vec r(u, v) = \vec r_{0}(u, v) + \vec u(u, v)[/math].

Vamos a suponer que la fuerza aplicada sobre la placa ha provocado un desplazamiento de los puntos de la misma dado por el vector de desplazamientos [math]\vec u(u,v)=\frac{u-1/2}{\cosh^2(u)-\cos^2(v)}\vec g_{v}.[/math]

1 Mallado del sólido

A partir de matlab, dibujamos el mallado de los puntos interiores de la placa. Con paso de muestreo 0.1, y ejes entre -4 y 4, el mallado nos queda:

u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)
figure(1)
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
mesh(Mx,My,0*Mx)
axis([-4,4,-4,4])     
view(2)

Malla de la placa.

2 Líneas coordenadas

Las líneas coordenadas se obtienen al fijar una de las dos coordenadas y variar la segunda. Al no ser la base constante, irá cambiando en cada punto. La representación de dichas lineas queda de tal forma:

u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)             
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
figure(1)
Gxu=sinh(Mu).*cos(Mv);                  
Gyu=cosh(Mu).*sin(Mv);                  
Gxv=-cosh(Mu).*sin(Mv);                  
Gyv=sinh(Mu).*cos(Mv);                 
hold on
mesh(Mx,My,0*Mx);          
quiver(Mx,My,Gxu,Gyu)     
quiver(Mx,My,Gxv,Gyv)      
hold off

3 Temperatura

La temperatura del sólido viene dada por la función [math]T(x,y)= e^{−(x^2+(y−2)^2)}[/math]. Representamos las curvas de nivel del campo T y, gráficamente, podemos ver que la temperatura será máxima en la zona con colores más intensos, es decir, en la parte superior de la placa.

u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
t=exp(-(Mx.^2+(My-2).^2))
surf(Mx,My,t)           
axis([-4,4,-4,4])      
view(2)

3.1 Gradiente de la temperatura

El gradiente nos indica la dirección por la cual la temperatura varía más rapido. Como podemos observar, [math]\nabla T[/math] es ortogonal a las curvas de nivel. [math]\nabla T = -2xe^{-(x^2+(y-2)^2)} \vec i -(2y-4)e^{-(x^2+(y-2)^2)} \vec j[/math]

u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
t=exp(-(Mx.^2+(My-2).^2))  
surf(Mx,My,0*Mx)
axis([-4,4,-4,4])      
view(2)
fx= (-2*Mx).*exp(-(Mx.^2+(My-2).^2))
fy=-(2*My-4).*exp(-(Mx.^2+(My-2).^2));
contour(Mx,My,t);
hold on;
quiver(Mx,My,fx,fy);
hold off;

4 Campo de desplazamientos

Suponemos que una fuerza aplicada sobre la placa genera una deformación. El desplazamiento de la placa plana originado por una vibración en un instante [math]t_0[/math] de tiempo, está definido según el siguiente campo vectorial: [math]\vec u(u,v)=\frac{u-1/2}{\cosh^2(u)-\cos^2(v)}\vec g_{v}.[/math] De esta forma, al aplicar tal campo a cada punto de nuestra placa, se originará un desplazamiento.

u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)             
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
fx=((Mu-1/2).*(-cosh(Mu).*sin(Mv)))./((cosh(Mu)).^2-(cos(Mv)).^2)
fy=((Mu-1/2).*(sinh(Mu).*cos(Mv)))./((cosh(Mu)).^2-(cos(Mv)).^2)
quiver(Mx,My,fx,fy)     
axis([-4,4,-4,4])     
view

4.1 Efecto del campo de desplazamientos

Una vez aplicado el campo, podemos apreciar el desplazamiento de los puntos de la placa y compararlo con la placa sin desplazar.

u=[1/2:0.1:2];
v=[0:0.1:2*pi+0.1];
[Mu,Mv]=meshgrid(u,v)             
Mx=cosh(Mu).*cos(Mv)
My=sinh(Mu).*sin(Mv)
fx=((Mu-1/2).*(-cosh(Mu).*sin(Mv)))./((cosh(Mu)).^2-(cos(Mv)).^2)
fy=((Mu-1/2).*(sinh(Mu).*cos(Mv)))./((cosh(Mu)).^2-(cos(Mv)).^2)
subplot(2,1,1) 
mesh(Mx,My,0*Mx) 
axis([-4,4,-4,4])
subplot(2,1,2)
mesh(Mx+fx,My+fy,0*Mx) 
axis([-4,4,-4,4])

5 Campo de desplazamientos '

A su vez, vamos a utilizar el campo [math]\vec u'(u,v)=-\frac{u-1/2}{\cosh^2(u)-\cos^2(v)}\vec g_{u}[/math]. La representación de dicho campo sería esta: