Diferencias finitas para la ecuación de ondas

1 Planteamiento: ecuación de ondas

Consideramos el siguiente problema

[math]\begin{equation}\label{diferencia1}\left\{ \begin{array}{lll} u_{tt}-u_{xx}=\frac{4e^{-t}}{1+x^2}, \hspace{0.4cm} x \in (0,1), \;\; t\gt0, \\ u_x(0,t)=2te^{-t^2}, \;\; u(1,t)=\frac{t}{1+t^2}, \hspace{0.4cm} t\gt0, \\ u(x,0)=x^2(1-x), \;\; u_t(x,0)=x, \hspace{0.4cm} x \in(0,1). \end{array} \right.\end{equation} [/math] Vamos a aproximar la solución por diferencias finitas en [math] x\in (0,1) [/math] y [math] t \in (0,3) [/math].

2 Discretización espacial

Primeramente introducimos una partición del intervalo [math] x\in (0,1) [/math]. Definimos el número de subintervalos N=5 y consideramos la malla en espacio $x_i=a+idx, \; i=0,1,2,3,4,5$. Llamaremos $dx=\frac{b-a}{N}=\frac{1}{5}$ la distancia entre dos puntos consecutivos de la malla. En los puntos [math] x_i [/math] tenemos

[math] u_{tt}(x_i,t)-u_{xx}(x_i,t)=\frac{4e^{-t}}{1+x_i^2}, \hspace{0.4cm} i=1,2,3,4. [/math]

Reemplazamos [math]-u_{xx}(x_i,t)[/math] por [math]\frac{-u(x_{i-1},t)+2u(x_i,t)-u(x_{i+1}t)}{dx^2},[/math] obteniendo entonces una aproximación de la ecuación en derivadas parciales [math] \begin{equation}\label{diferencia2}u_{tt}(x_i,t)+\frac{-u(x_{i-1,t}+2u(x_i,t)-u(x_{i+1}t)}{dx^2}=\frac{4e^{-t}}{1+x_i^2}, \hspace{0.4cm} i=1,2,3,4.\end{equation} [/math]

Si llamamos $u_i(t)=u(x_i,t), \; i=0,1,2,3,4,5$ el sistema (\ref{diferencia2}) lo podemos escribir en la forma [math]\begin{equation}\label{diferencia3}\left\{ \begin{array}{llll} u''_1(t)+\frac{-u_0(t)+2u_1(t)-u_2(t)}{dx^2}=\frac{4}{1+x_1^2}e^{-t} \\ u''_2(t)+\frac{-u_1(t)+2u_2(t)-u_3(t)}{dx^2}=\frac{4}{1+x_2^2}e^{-t} \\ u''_3(t)+\frac{-u_2(t)+2u_3(t)-u_4(t)}{dx^2}=\frac{4}{1+x_3^2}e^{-t} \\ u''_4(t)+\frac{-u_3(t)+2u_4(t)-u_5(t)}{dx^2}=\frac{4}{1+x_1^2}e^{-t} \end{array} \right.\end{equation} [/math]