Campos y temperatura en anillo plano (Grupo 14A)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Campos y temperatura en anillo plano (Grupo 14A) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2014-15 |
| Autores | Jose Manuel Alonso de Caso, Raquel Álvarez,Alejandro del Rey, Raphael Gide,Miguel López, Alejandro Mendizabal. |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
- 1 . Mallado del anillo plano
- 2 . Distribución de temperaturas en el anillo
- 3 . Gradiente de la temperatura
- 4 . Desplazamiento provocado por [math]\vec u[/math]
- 5 . Sólido antes y después del desplazamiento
- 6 . Divergencia del campo vectorial [math]\vec u[/math]
- 7 . Rotacional del campo vectorial [math]\vec u[/math]
1 . Mallado del anillo plano
Partimos de una superficie plana circular centrada en el origen, delimitada por los radios de valores 1 y 2 unidades, que expresaremos en coordenadas cilíndricas para el estudio en este trabajo.
%vectores de las coordenadas
rho=linspace(1,5,50);
phi=linspace(0,2*pi,50);
%malla
h=0.1; % Paso de muestreo
%coordenadas polares
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
%Parametrización
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
2 . Distribución de temperaturas en el anillo
La temperatura se distribuye dentro del anillo siguiendo la función [math]T=(8-y^2+2y)exp(-x^2+2x-1)[/math]. La temperatura en cada punto del disco debido a esta distribución se puede intuir mediante las curvas de nivel de la representación gráfica adjunta abajo. Se trata de una distribución cuyo foco de calor se encuentra desplazado con respecto al origen de coordenadas. De esta forma se observan curvas concéntricas que están formadas por puntos que se encuentran a la misma temperatura (curvas de nivel).
Utilizaremos la expresión [math] max(max(T)) [/math] para obtener el valor máximo de la temperatura (T) para que matlab nos lo muestre. El máximo de temperatura en el dominio es [math] 8.9945 [/math], aproximadamente [math]9[/math]
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x);
axis([-3,3,-3,3])
T=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1); % Expresión del campo escalar térmico
subplot(2,1,1)
surf(x,y,T)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(2,1,2)
contour(x,y,T,25);
axis([-3,3,-3,3])
3 . Gradiente de la temperatura
El gradiente de la temperatura [math]∇T=(T_1,T_2)= \frac{\partial T}{\partial x} \vec i + \frac{\partial T}{\partial y} \vec j = (-2x+2).exp(-x^2+2x-1) \vec i + (-2*y+2).exp(-x^2+2*x-1) \vec j [/math] se define como ortongonal a las lineas de nivel, como podemos comprobar visualmente en la figura. Se observa también que el gradiente en cada punto converge hacia el foco de calor.
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[r,t]=meshgrid(r,t);
x=r.*cos(tt);
y=r.*sin(tt);
%Relación polares-cartesianas
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
f=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1);
fx=(-2.*x+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); % Derivada parcial en x
fy=(-2.*y+2).*exp(-x.^2+2.*x-1); % Derivada parcial en y
hold on
quiver(x,y,fx,fy)
axis([-3,3,-3,3])
contour(x,y,f,25) %Curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
hold off
4 . Desplazamiento provocado por [math]\vec u[/math]
A continuación aplicamos el desplazamiento provocado por el vector [math]\vec u = (1-ρ)^2 g_ρ [/math] en el mallado y lo representamos gráficamente. Cada vector representa la fuerza aplicada en cada punto del sólido y nos indica la dirección de desplazamiento que lleva cada punto.
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
ux=((1-u).^2).*x./u;
uy=((1-u).^2).*y./u;
quiver(x,y,ux,uy)
axis([-3,3,-3,3])
5 . Sólido antes y después del desplazamiento
Obtenemos ahora la posición final de los puntos del anillo cuando actúa en él el desplazamiento anterior. Comparando el estado inicial y el estado final del anillo, vemos que las partículas del sólido se mueven en la dirección de los vectores del campo u, como habíamos visto en el apartado anterior. El desplazamiento provoca que el anillo se expanda hasta llegar al radio exterior de valor 3, siendo anteriormente 2. El radio interior se mantiene en 1.
%malla
h=0.1; %paso de muestreo
%coordenadas polares
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x);
%Desplazamientos originados por la vibración
ux=((1-u).^2).*x./u;
uy=((1-u).^2).*y./u;
%Posición final de los puntos de la placa
dx=x+ux;
dy=y+uy;
subplot(1,2,1) %antes
mesh(x,y,0.*x)
axis([-3,3,-3,3])
subplot(1,2,2) %despues
mesh(dx,dy,0.*dx)
axis([-3,3,-3,3])
6 . Divergencia del campo vectorial [math]\vec u[/math]
Para analizar el cambio de volumen debido al desplazamiento anterior utilizamos el operador diferencial de la divergencia \( \nabla \cdot \vec u \): [math] ∇·\vec u=\frac{ 1}{ √g}·\frac{\partial }{\partial x^i}·(√g·u^i) = [/math]
h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[rr,tt]=meshgrid(r,t);
x=rr.*cos(tt);
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)
axis([-3,3,-3,3])
div=1./rr-4+3.*rr; % Expresión de la divergencia
surf(x,y,div)
axis([-3,3,-3,3])
7 . Rotacional del campo vectorial [math]\vec u[/math]
Para aplicar la formula del rotacional necesitamos las covariantes del campo [math] \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g^ρ = u_i . g^i[/math] que al aplicar la matriz de gram de las coordenadas polares queda [math] \vec u⃗ = (1-ρ)^2 . g_ρ = u^i . g_i[/math]
- [math] \nabla\times \vec u⃗ =\frac{ 1}{ ρ}\left| \begin{matrix} \ g_ρ & \ g_θ & \ g_z \\ & & \\ \frac{\partial}{\partial ρ} & \frac{\partial}{\partial θ} & \frac{\partial}{\partial z} \\ & & \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{matrix}\right| [/math]
[math] ∇\times\vec u=(\frac{\partial u^3}{\partial ρ}-\frac{\partial u^2}{\partial θ})·g_ρ-(\frac{\partial u^3}{\partial ρ}-\frac{\partial u^1}{\partial z})·g_θ+(\frac{\partial u^2}{\partial ρ} -\frac{\partial u^1}{\partial θ})·g_z [/math] Las coordenadas en [math]g_ρ[/math] y [math]g_θ[/math] s anulan al derivar, y en la [math]g_z[/math]:
[math] [ -(1-\frac{ 1}{ ρ^2})*senθ + (1-\frac{ 1}{ ρ^2})*senθ ]·g_z [/math] [math] ∇φ=0·g_i [/math]
