Campos y temperatura en anillo plano (Grupo 14A)

1 . Mallado del anillo plano

Partimos de una superficie plana circular centrada en el origen, delimitada por los radios de valores 1 y 2 unidades, que expresaremos en coordenadas cilíndricas para el estudio en este trabajo.

Mallado del anillo plano. Paso de muestreo h=0.1

%vectores de las coordenadas
rho=linspace(1,5,50);
phi=linspace(0,2*pi,50);


%malla
h=0.1;     % Paso de muestreo
%coordenadas polares
r=1:h:2;                            
t=0:h:2*pi+h;          
[rr,tt]=meshgrid(r,t);   %mallado      
%Parametrización
x=rr.*cos(tt);                 
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x)           
axis([-3,3,-3,3])

2 . Distribución de temperaturas en el anillo

La temperatura se distribuye dentro del anillo siguiendo la función [math]T=(8-y^2+2y)exp(-x^2+2x-1)[/math]. La temperatura en cada punto del disco debido a esta distribución se puede intuir mediante las curvas de nivel de la representación gráfica adjunta abajo. Se trata de una distribución cuyo foco de calor se encuentra desplazado con respecto al origen de coordenadas. De esta forma se observan curvas concéntricas que están formadas por puntos que se encuentran a la misma temperatura (curvas de nivel).

Utilizaremos la expresión [math] max(max(T)) [/math] para obtener el valor máximo de la temperatura (T) para que matlab nos lo muestre. El máximo de temperatura en el dominio es [math] 8.9945 [/math], aproximadamente [math]9[/math]

h=0.1;                               
r=1:h:2;                            
t=0:h:2*pi+h;          
[rr,tt]=meshgrid(r,t); %mallado    
x=rr.*cos(tt);                 
y=rr.*sin(tt);
mesh(x,y,0*x);
axis([-3,3,-3,3])    
T=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1);   % Expresión del campo escalar térmico
subplot(2,1,1)
surf(x,y,T)          
axis([-3,3,-3,3])  
subplot(2,1,2)
contour(x,y,T,25);
axis([-3,3,-3,3])

Distribución de temperaturas y curvas de nivel del anillo.

3 . Gradiente de la temperatura

El gradiente de la temperatura [math]∇T=(u_1,u_2,u_3)= \frac{\partial T}{\partial ρ}·g^ρ + \frac{\partial T}{\partial Y}·g^θ + \frac{\partial T}{\partial z}·g^z [/math]

Gradiente de la temperatura en el anillo

h=0.1;
r=1:h:2;
t=0:h:2*pi+h;
[r,t]=meshgrid(r,t);
x=r.*cos(tt);
y=r.*sin(tt);
%Relación polares-cartesianas
u=sqrt(x.^2+y.^2);
v=atan(y./x); 
f=(8-y.^2+2.*y).*exp(-x.^2+2.*x-1);
fx=(-2.*x+2).*exp(-x.^2+2.*x-1);     % Derivada parcial en x
fy=(-2.*y+2).*exp(-x.^2+2.*x-1);     % Derivada parcial en y
hold on
quiver(x,y,fx,fy)
axis([-3,3,-3,3]) 
contour(x,y,f,25)    %Curvas de nivel
axis([-3,3,-3,3])
hold off