Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 2-A)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 2-A) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2014-15 |
| Autores |
Arévalo Lecanda, Javier Bezares Planells, Catalina Buitrago Peña, Marcos Jiménez Ocampo, Estefanía López Gilabert, Tamara |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Visualización de un sistema de partículas
Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso tenemos 10 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = ((i − 1)/5,sin(π(i − 1)/4), π(i −1)/30), i = 1, 2, ..., 10 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.
i=(1:10);
x=(i-1)/5; %Coordenadas x de las partículas según i
y=sin(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las partículas según i
z=pi*(i-1)/30;%Coordenadas z de las partículas según i
f=[x;y;z]; % coordenadas de las partículas según i
plot3(f(1,:),f(2,:),f(3,:),'o-','MarkerFaceColor','b') % Dibujar las partículas en azul unidas por un alambre
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la región [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
2 Centro de masas de un sistema de particulas
2.1 Formula del centro de masas
En nuestro caso tenemos 10 particulas y cada particula tiene la misma masa mi=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas : (∑inrimi)/M donde M es la masa total (10×10=100) y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. La funcion que usaremos es la siguiente;
function [cx,cy,cz] = CentroMasa(x,y,z)
%CentroMasa Coje un cierto numero de puntos con cordenadas en x,y,z y devuele su centro de masas
m=10; % Masa de una particula
M=100; % Masa de las 10 particulas
cx=0; cy=0; cz=0; % Damos un valor inicial de 0 a las coordenadas del centro de masas
for i=1:10
cx=cx+x(i)*m; %Sumatorio de las coordenadas x de las particulas por su masa
cy=cy+y(i)*m; %Sumatorio de las coordenadas y de las particulas por su masa
cz=cz+z(i)*m; %Sumatorio de las coordenadas z de las particulas por su masa
end
cx=cx/M; %Centro de masas en la coordenada x
cy=cy/M; %Centro de masas en la coordenada y
cz=cz/M; %Centro de masas en la coordenada z
end
2.2 Visualicacion del centro de masas
Implementando esta funcion a nuestro codigo de obtenemos lo siguiente:
hold on
i=(1:10); %Variable i
x=(i-1)/5; %Coordenadas x de las particulas segun i
y=sin(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=pi*(i-1)/30;%Coordenadas z de las particulas segun i
[cx,cy,cz]=CentroMasa(x,y,z); %Usamos la funcion para calcular el centro de masas
f=[x;y;z];% Coordenadas de las particulas segun i
plot3(cx,cy,cz,'o','MarkerFaceColor','g') %Dibujamos el centro de masas de las particulas en verde
plot3(f(1,:),f(2,:),f(3,:),'o-','MarkerFaceColor','b')% Dibujamos las particulas
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
3 Rotacion de un sistema de particulas
3.1 Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para conseguir esta matriz hemos usado el siguiente codigo:
% La Matriz de rotacion, R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux
v=[0 0 1]; %Introducimo el eje de giro
t=pi/16; %Introducimos el angulo de giro
w=v/sqrt(sum(v.^2)); %Convierte el eje de giro en un vector unitario
R1=eye(3)*cos(t); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(w,w')*(1-cos(t)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -w(3) w(2); w(3) 0 -w(1);-w(2) w(1) 0]*sin(t); % Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux
R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);
La matriz de rotacion R obtenida es:
0.9808 -0.1951 0
0.1951 0.9808 0
0 0 1.0000
3.2 Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16
Para poder entonces visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.
i=(1:10);
x=(i-1)/5; %Coordenadas x de las particulas segun i
y=sin(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=pi*(i-1)/30;%Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; % coordenadas de las particulas segun i
R=[0.9808 -0.1951 0; 0.1951 0.9808 0; 0 0 1.0000];
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R)'; % Rota las particulas
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') % Dibujar las particulas
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
3.3 Matriz Rotacion con eje ω = e1,e2,e1+e2+e3 y angulo θ= π/16
Para poder generar la matriz de rotacion con eje ω = e1,e2,e1+e2+e3 y angulo θ= π/16 usamos un procedimiento analogo al anterior aunque ahora nuestra rotacion esta compuesta por tres rotaciones: una primera con eje ω = e1 y angulo θ= π/16 ; Una segunda con eje ω = e2 y angulo θ= π/16; Y una ultima con eje ω =e1+e2+e3 y angulo θ= π/16. Para obtener esta matriz usamos el codigo:
% La Matriz de rotacion, R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux
t=pi/16; %Introducimos el angulo de giro
v1=[1 0 0]; %Introducimos el primer eje de giro
v2=[0 1 0]; %Introducimos el segundo eje de giro
v3=[1 1 1]; %Introducimos el tercer eje de giro
w1=v1/sqrt(sum(v1.^2)); %Convierte el primer eje de giro en un vector unitario
w2=v2/sqrt(sum(v2.^2)); %Convierte el segundo eje de giro en un vector unitario
w3=v3/sqrt(sum(v3.^2)); %Convierte el tercer eje de giro en un vector unitario
R1=eye(3)*cos(t); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
%Calculamos la primera rotacion
U2=kron(w1,w1')*(1-cos(t)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
U3=[0 -w1(3) w1(2); w1(3) 0 -w1(1);-w1(2) w1(1) 0]*sin(t); % Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux
U=R1+U2+U3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
%Calculamos la segunda rotacion
T2=kron(w2,w2')*(1-cos(t)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
T3=[0 -w2(3) w2(2); w2(3) 0 -w2(1);-w2(2) w2(1) 0]*sin(t); % Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux
T=R1+T2+T3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
%Calculamos la tercera rotacion
S2=kron(w3,w3')*(1-cos(t)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
S3=[0 -w3(3) w3(2); w3(3) 0 -w3(1);-w3(2) w3(1) 0]*sin(t); % Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux
S=R1+S2+S3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
%Calculamos la rotacion entera
R=U*T*S;
disp(R);
La matriz de rotacion R obtenida es:
0.9475 -0.0810 0.3093 0.1747 0.9414 -0.2885 -0.2679 0.3274 0.9061
3.4 Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω = e1,e2,e1+e2+e3 y angulo θ= π/16
Para visualizar el sistema de puntos rotados usamos el analogo a lo que hicimos anteriormente solo que ahora tenemos una matriz de rotacion distinta. El codigo que hemos usado es el siguiente:
i=(1:10);
x=(i-1)/5; %Coordenadas x de las particulas segun i
y=sin(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=pi*(i-1)/30;%Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; % coordenadas de las particulas segun i
v=[0 0 1]; %Introducimo el eje de giro
t=pi/16; %Introducimos el angulo de giro
w=v/sqrt(sum(v.^2)); %Convierte el eje de giro en un vector unitarios
R=[0.9475,-0.0810,0.3093; 0.1747,0.9414,-0.2885; -0.2679,0.3274,0.9061];
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R)'; % Rota las particulas
figure(1)
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') % Dibujar las particulas
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
4 6. Momento angular de un sistema de partículas
El momento angular de un sistema de diez partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como [math]L=sum r\ltsub\gti\lt/sub\gt x m\ltsub\gti\lt/sub\gtv\ltsub\gti\lt/sub\gt\ltmath\gt. A continuación, se demuestra que el momento lineal se puede expresar como: \ltmath\gtL=Iw\ltmath\gt, para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad v\ltsub\gti\lt/sub\gt por \ltmath\gtw x r\ltsub\gti\lt/sub\gt\ltmath\gt.[/math]
