Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 2-A)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 2-A) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2014-15 |
| Autores |
Arévalo Lecanda, Javier Bezares Planells, Catalina Buitrago Peña, Marcos Jiménez Ocampo, Estefanía López Gilabert, Tamara |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Visualización de un sistema de partículas
Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso tenemos 10 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = ((i − 1)/5,sin(π(i − 1)/4), π(i −1)/30), i = 1, 2, ..., 10 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.
2 Centro de masas de un sistema de particulas
2.1 Formula del centro de masas
En nuestro caso tenemos 10 particulas y cada particula tiene la misma masa mi=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas : (∑inrimi)/M donde M es la masa total (10×10=100) y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. La funcion que usaremos es la siguiente;
2.2 Visualicacion del centro de masas
Implementando esta funcion a nuestro codigo de obtenemos lo siguiente:
3 Rotacion de un sistema de particulas
3.1 Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para conseguir esta matriz hemos usado el siguiente codigo:
3.2 Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16
Para poder entonces visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.
3.3 Matriz Rotacion con eje ω = e1,e2,e1+e2+e3 y angulo θ= π/16
Para poder generar la matriz de rotacion con eje ω = e1,e2,e1+e2+e3 y angulo θ= π/16 usamos un procedimiento analogo al anterior aunque ahora nuestra rotacion esta compuesta por tres rotaciones: una primera con eje ω = e1 y angulo θ= π/16 ; Una segunda con eje ω = e2 y angulo θ= π/16; Y una ultima con eje ω =e1+e2+e3 y angulo θ= π/16. Para obtener esta matriz usamos el codigo:
3.4 Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω = e1,e2,e1+e2+e3 y angulo θ= π/16
Para visualizar el sistema de puntos rotados usamos el analogo a lo que hicimos anteriormente solo que ahora tenemos una matriz de rotacion distinta. El codigo que hemos usado es el siguiente:
4 Velocidad de los puntos del sistema
4.1 Relación entre la velocidad de los puntos del sistema con su posición mediante un tensor antisimétrico A
Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.
En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:
Un tensor es antisimétrico si
En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:
De donde se obtiene la matriz antisimétrica definida como:
IMAGEN 3
que coincide con la definición de tensor velocidad angular.
Ahora, vamos a demostrar que el vector axial asociado a A es θ^'(t)ϖ.
La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo. IMAGEN 4
Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular. La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.
Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:
IMAGEN 5
Donde ω× se conoce como vector axial.
Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:
IMAGEN 6
Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:
Imagen 7
Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.
Se cumple que: imagen 8
Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:
IMAGEN9
Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:
IMAGEN10
De donde se deduce que A es θ^' (t)ϖ
5 6. Momento angular de un sistema de partículas
El momento angular de un sistema de diez partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como [math]L=sum r\ltsub\gti\lt/sub\gt x m\ltsub\gti\lt/sub\gtv\ltsub\gti\lt/sub\gt\ltmath\gt. A continuación, se demuestra que el momento lineal se puede expresar como: \ltmath\gtL=Iw\ltmath\gt, para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad v\ltsub\gti\lt/sub\gt por \ltmath\gtw x r\ltsub\gti\lt/sub\gt\ltmath\gt.[/math]
