Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 2-A)
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 2-A) |
| Asignatura | Teoría de Campos |
| Curso | 2014-15 |
| Autores |
Arévalo Lecanda, Javier Bezares Planells, Catalina Buitrago Peña, Marcos Jiménez Ocampo, Estefanía López Gilabert, Tamara |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
Contenido
1 Visualización de un sistema de partículas
Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso tenemos 10 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = ((i − 1)/5,sin(π(i − 1)/4), π(i −1)/30), i = 1, 2, ..., 10 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.
i=(1:10);
x=(i-1)/5; %Coordenadas x de las partículas según i
y=sin(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las partículas según i
z=pi*(i-1)/30;%Coordenadas z de las partículas según i
f=[x;y;z]; % coordenadas de las partículas según i
plot3(f(1,:),f(2,:),f(3,:),'o-','MarkerFaceColor','b') % Dibujar las partículas en azul unidas por un alambre
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la región [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
2 Centro de masas de un sistema de particulas
2.1 Formula del centro de masas
En nuestro caso tenemos 10 particulas y cada particula tiene la misma masa mi=10. Para calcular el centro de masas hacemos uso de la formula de centro de masas : (∑inrimi)/M donde M es la masa total (10×10=100) y ri= la distancia del punto al eje correspondiente x, y ó z. La funcion que usaremos es la siguiente;
function [cx,cy,cz] = CentroMasa(x,y,z)
%CentroMasa Coje un cierto numero de puntos con cordenadas en x,y,z y devuele su centro de masas
m=10; % Masa de una particula
M=100; % Masa de las 10 particulas
cx=0; cy=0; cz=0; % Damos un valor inicial de 0 a las coordenadas del centro de masas
for i=1:10
cx=cx+x(i)*m; %Sumatorio de las coordenadas x de las particulas por su masa
cy=cy+y(i)*m; %Sumatorio de las coordenadas y de las particulas por su masa
cz=cz+z(i)*m; %Sumatorio de las coordenadas z de las particulas por su masa
end
cx=cx/M; %Centro de masas en la coordenada x
cy=cy/M; %Centro de masas en la coordenada y
cz=cz/M; %Centro de masas en la coordenada z
end
2.2 Visualicacion del centro de masas
Implementando esta funcion a nuestro codigo de obtenemos lo siguiente:
hold on
i=(1:10); %Variable i
x=(i-1)/5; %Coordenadas x de las particulas segun i
y=sin(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=pi*(i-1)/30;%Coordenadas z de las particulas segun i
[cx,cy,cz]=CentroMasa(x,y,z); %Usamos la funcion para calcular el centro de masas
f=[x;y;z];% Coordenadas de las particulas segun i
plot3(cx,cy,cz,'o','MarkerFaceColor','g') %Dibujamos el centro de masas de las particulas en verde
plot3(f(1,:),f(2,:),f(3,:),'o-','MarkerFaceColor','b')% Dibujamos las particulas
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
hold off
3 Rotacion de un sistema de particulas
3.1 Matriz Rotacion con eje ω=e3 y angulo θ= π/16
Para generar la matriz de rotacion necesitamos saber el eje y el angulo con el que queremos rotarlo. En nuestro caso estos valores seran eje ω=e3 y angulo θ= π/16. Para conseguir esta matriz hemos usado el siguiente codigo:
% La Matriz de rotacion, R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux
v=[0 0 1]; %Introducimo el eje de giro
t=pi/16; %Introducimos el angulo de giro
w=v/sqrt(sum(v.^2)); %Convierte el eje de giro en un vector unitario
R1=eye(3)*cos(t); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
R2=kron(w,w')*(1-cos(t)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
R3=[0 -w(3) w(2); w(3) 0 -w(1);-w(2) w(1) 0]*sin(t); % Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux
R=R1+R2+R3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
disp(R);
La matriz de rotacion R obtenida es:
0.9808 -0.1951 0
0.1951 0.9808 0
0 0 1.0000
3.2 Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω=e3 y angulo θ= π/16
Para poder entonces visualizar el sistema de puntos rotado tenemos que multiplicar cada coordenada de nuestras particulas por la matriz de rotacion. De esta manera conseguimos sistema de puntos rotado.
i=(1:10);
x=(i-1)/5; %Coordenadas x de las particulas segun i
y=sin(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=pi*(i-1)/30;%Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; % coordenadas de las particulas segun i
R=[0.9808 -0.1951 0; 0.1951 0.9808 0; 0 0 1.0000];
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R)'; % Rota las particulas
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') % Dibujar las particulas
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
3.3 Matriz Rotacion con eje ω = e1,e2,e1+e2+e3 y angulo θ= π/16
Para poder generar la matriz de rotacion con eje ω = e1,e2,e1+e2+e3 y angulo θ= π/16 usamos un procedimiento analogo al anterior aunque ahora nuestra rotacion esta compuesta por tres rotaciones: una primera con eje ω = e1 y angulo θ= π/16 ; Una segunda con eje ω = e2 y angulo θ= π/16; Y una ultima con eje ω =e1+e2+e3 y angulo θ= π/16. Para obtener esta matriz usamos el codigo:
% La Matriz de rotacion, R=cos(θ)I + (1-cos(θ)u×u +sin(θ)ux
t=pi/16; %Introducimos el angulo de giro
v1=[1 0 0]; %Introducimos el primer eje de giro
v2=[0 1 0]; %Introducimos el segundo eje de giro
v3=[1 1 1]; %Introducimos el tercer eje de giro
w1=v1/sqrt(sum(v1.^2)); %Convierte el primer eje de giro en un vector unitario
w2=v2/sqrt(sum(v2.^2)); %Convierte el segundo eje de giro en un vector unitario
w3=v3/sqrt(sum(v3.^2)); %Convierte el tercer eje de giro en un vector unitario
R1=eye(3)*cos(t); % Genera la matriz corespondiente a cos(θ)I
%Calculamos la primera rotacion
U2=kron(w1,w1')*(1-cos(t)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
U3=[0 -w1(3) w1(2); w1(3) 0 -w1(1);-w1(2) w1(1) 0]*sin(t); % Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux
U=R1+U2+U3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
%Calculamos la segunda rotacion
T2=kron(w2,w2')*(1-cos(t)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
T3=[0 -w2(3) w2(2); w2(3) 0 -w2(1);-w2(2) w2(1) 0]*sin(t); % Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux
T=R1+T2+T3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
%Calculamos la tercera rotacion
S2=kron(w3,w3')*(1-cos(t)); % Genera la matriz corespondiete a (1-cos(θ)u×u
S3=[0 -w3(3) w3(2); w3(3) 0 -w3(1);-w3(2) w3(1) 0]*sin(t); % Genera la matriz corespondiete a sin(θ)ux
S=R1+S2+S3; % Suma las matrices anteriores para calcula la matriz de rotacion
%Calculamos la rotacion entera
R=U*T*S;
disp(R);
La matriz de rotacion R obtenida es:
0.9475 -0.0810 0.3093 0.1747 0.9414 -0.2885 -0.2679 0.3274 0.9061
3.4 Visualizacion de un sistema de puntos rotados con eje ω = e1,e2,e1+e2+e3 y angulo θ= π/16
Para visualizar el sistema de puntos rotados usamos el analogo a lo que hicimos anteriormente solo que ahora tenemos una matriz de rotacion distinta. El codigo que hemos usado es el siguiente:
i=(1:10);
x=(i-1)/5; %Coordenadas x de las particulas segun i
y=sin(pi*(i-1)/4); %Coordenadas y de las particulas segun i
z=pi*(i-1)/30;%Coordenadas z de las particulas segun i
f=[x;y;z]; % coordenadas de las particulas segun i
v=[0 0 1]; %Introducimo el eje de giro
t=pi/16; %Introducimos el angulo de giro
w=v/sqrt(sum(v.^2)); %Convierte el eje de giro en un vector unitarios
R=[0.9475,-0.0810,0.3093; 0.1747,0.9414,-0.2885; -0.2679,0.3274,0.9061];
g=([x(i); y(i) ;z(i)]'*R)'; % Rota las particulas
figure(1)
plot3(g(1,:),g(2,:),g(3,:),'o-','MarkerFaceColor','r') % Dibujar las particulas
axis([-2,2,-2,2,-2,2]) % Ejes fijados en la region [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
4 Apartado 4
Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.
En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:
Un tensor es antisimétrico si
En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:
De donde se obtiene la matriz antisimétrica definida como:
IMAGEN 3
que coincide con la definición de tensor velocidad angular.
Ahora, vamos a demostrar que el vector axial asociado a A es θ^'(t)ϖ.
La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo. IMAGEN 4
Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular. La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.
Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:
IMAGEN 5
Donde ω× se conoce como vector axial.
Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:
IMAGEN 6
Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:
Imagen 7
Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.
Se cumple que: imagen 8
Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:
IMAGEN9
Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:
IMAGEN10
De donde se deduce que A es θ^' (t)ϖ
5 6. Momento angular de un sistema de partículas
El momento angular de un sistema de diez partículas, que tienen un vector de desplazamiento ri, masa igual a mi, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad vi; este momento lineal se define como [math]L=sum r\ltsub\gti\lt/sub\gt x m\ltsub\gti\lt/sub\gtv\ltsub\gti\lt/sub\gt\ltmath\gt. A continuación, se demuestra que el momento lineal se puede expresar como: \ltmath\gtL=Iw\ltmath\gt, para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad v\ltsub\gti\lt/sub\gt por \ltmath\gtw x r\ltsub\gti\lt/sub\gt\ltmath\gt.[/math]
