Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 2-A)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Movimiento de un sistema de partículas. (Grupo 2-A)
Asignatura	Teoría de Campos
Curso	2014-15
Autores	Arévalo Lecanda, Javier Bezares Planells, Catalina Buitrago Peña, Marcos Jiménez Ocampo, Estefanía López Gilabert, Tamara
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Visualizción de un sistema de partículas

Para empezar a dibujar un sistema de partículas primero tenemos que generarlos. En nuestro caso tenemos 10 partículas que inicialmente se encuentran en las coordenadas (xi ,yi ,zi) = ((i − 1)/5,sin(π(i − 1)/4), π(i −1)/30), i = 1, 2, ..., 10 respecto a la base ortonormal {e1,e2,e3}. Supondremos que nuestras partículas están unidas por un alambre de masa despreciable de manera que su posición relativa no cambia.

i=(1:10); 
x=(i-1)/5;  %Coordenadas x de las partículas según i
y=sin(pi*(i-1)/4);  %Coordenadas y de las partículas según i
z=pi*(i-1)/30;%Coordenadas z de las partículas según i
f=[x;y;z];  % coordenadas de las partículas según i
figure(1)
plot3(f(1,:),f(2,:),f(3,:),'o-','MarkerFaceColor','b')   % Dibujar las partículas 
                                                         %en azul unidas por un alambre
axis([-2,2,-2,2,-2,2])  % Ejes fijados en la región [-2,2]*[-2,2]*[-2,2]
xlabel('Eje x')
ylabel('Eje y')
zlabel('Eje z')

3 Apartado 4

Supongamos ahora que el sistema gira alrededor de un eje genérico con vector de dirección unitario ϖ de manera que la variación angular viene dada por la función θ(t) donde t ∈ [0, π] es el tiempo.

En primer lugar, vamos a comprobar analíticamente que la velocidad de los puntos del sistema está relacionada con su posición mediante un tensor antisimétrico A, es decir:

IMAGEN 1

Un tensor es antisimétrico si IMAGEN0

En (1) A es la velocidad angular. Para demostrar que la velocidad angular de una rotación es un tensor antisimético, vamos a derivar la siguiente relación:

 IMAGEN 2

De donde se obtiene la matriz antisimétrica definida como:

IMAGEN 3

que coincide con la definición de tensor velocidad angular.

Ahora, vamos a demostrar que el vector axial asociado a A es θ^'(t)ϖ.

La velocidad angular se define como el ángulo girado por unidad de tiempo. IMAGEN 4

Para un objeto que gira alrededor de un eje, cada punto del objeto tiene la misma velocidad angular. La forma matricial para representar la velocidad angular, puede ser deducida a partir de matrices de rotación.

Cualquier vector que gira alrededor de un eje con velocidad angular ϖ satisface:

IMAGEN 5

Donde ω× se conoce como vector axial.

Podemos definir el tensor velocidad angular asociado con la velocidad angular ϖ como:

IMAGEN 6

Este tensor antisimétrico A(t) actúa como si ω× fuera un operador:

Imagen 7 

Dada una matriz de rotación R(t) se puede obtener en cada instante el tensor velocidad angular A(t) como se muestra a continuación.

Se cumple que: imagen 8

Como la velocidad angular debe ser la misma para los tres vectores de un mismo sistema de referencia, si la matriz R(t) cuyas tres columnas son tres vectores unitarios simultáneamente perpendiculares, podemos escribir la relación:

IMAGEN9

Y por tanto la velocidad angular se puede definir como:

IMAGEN10

De donde se deduce que A es θ^' (t)ϖ

4 6. Momento angular de un sistema de partículas

El momento angular de un sistema de diez partículas, que tienen un vector de desplazamiento r_i, masa igual a m_i, las cuales son todas idénticas y un vector de velocidad v_i; este momento lineal se define como [math]L=sum r\ltsub\gti\lt/sub\gt x m\ltsub\gti\lt/sub\gtv\ltsub\gti\lt/sub\gt\ltmath\gt. A continuación, se demuestra que el momento lineal se puede expresar como: \ltmath\gtL=Iw\ltmath\gt, para ello se supone que los puntos se mueven con una velocidad angular w y además se sustituye el valor de la velocidad v\ltsub\gti\lt/sub\gt por \ltmath\gtw x r\ltsub\gti\lt/sub\gt\ltmath\gt.[/math]