Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Cable de una estructura civil. Grupo 16
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2013-14
Autores	Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 Begoña Bigeriego Alvarez 637
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Modelización de problema

El problema a estudio es una modelización de la ecuación de cuerda vibrante, que se presenta de la siguiente forma: [math] \rho u_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t\gt0; [/math]

[math]\rho=\rho(x,t)[/math] = densidad lineal de la cuerda.
[math]Z=Z(x,t)[/math] = tracción o tensión.
[math]c=\sqrt{\frac{Z}{\rho}}[/math] = celeridad.

Está sometido a unas condiciones de contorno, CC, que gracias a nuestras condiciones del ejercicio sabemos que son unas condiciones Dirichlet puesto que tenemos nuestros extremos a cota conocida:: [math] u(0,t)=g_{1}(t)\\ u(L,t)=g_{2}(t) [/math]

[math]g_{1}(t)[/math] y [math]g_{2}(t)[/math] = Funciones de contorno de los extremos de la cuerda.

A su vez la cuerda vibrante funciona bajo unas condiciones iniciales, CI, que nos indicaran el perfil inicial de la cuerda así como la velocidad inicial que tienen sus puntos:: [math] u(x,0)=A(x)\\ u_{t}(x,0)=B(t)\\ [/math]

[math]A(x)[/math] = Función que describe el perfil inicial de la cuerda situado a cota inicial [math]x=x_{0}[/math].
[math]B(t)[/math] = Velocidad a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda en el instante inicial del movimiento[math]t=t_{0}[/math].

En nuestro caso, en el que consideramos un cable de una estructura civil de longitud [math]L = 10m[/math] sujeto por ambos extremos cuya sección es mucho menor con respecto de la longitud del mismo y en que sus vibraciones se pueden modelizar mediante la ecuación de ondas tendremos el siguiente probelma:

Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.

Vamos a modelizar una ecuación de ondas en la que consideraremos una cuerda vibrante sujeta por sus extremos::

[math] \begin{cases} u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t\gt0\\ \begin{cases} u(0,t)=0\\ u(10,t)=0\\ \end{cases}\\ \begin{cases} u(x,0)=0\\ u_{t}(x,0)=0\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ [/math]
Interpretando en términos de cuerda vibrante tendremos:
[math]EDP[/math]: Cuerda homogénea de densidad lineal [math]/rho=1[/math] y tracción [math]Z=1[/math], por tanto tenemos también una celeridad de [math]c=1[/math], no está sometido a fuerzas por unidad de longitud en sus puntos interiores ya que [math]f(x,t)=0[/math] y la cuerda ocupa un intervalo de [math][0,10]m[/math].
[math]CC[/math]: Ambos extremos al estar empotrados están a cota [math]x=0[/math].
[math]CI[/math]: El perfil inicial de la cuerda al ser una sección pequeña con respecto de su longitud es de nula, [math]u(x,0)=0[/math] así como la velocidad inicial a la que están sometidos todos los puntos de la cuerda, [math]u_{t}(x,0)=0[/math].

2 Desplazamiento vertical del cable

2.1 Método del Trapecio

Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar. Aproximar [math]u(x; t)[/math] por el método de diferencias finitas con [math]Δx = 0.1[/math], y usar el método del trapecio tomando [math]Δx = Δt[/math]. Dibujar la solución en tiempo [math]t ɛ [0,40][/math]

% Datos del problema
L=10;
T=40;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;
% Diferencias finitas
% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Posición inicial
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];% Matriz M

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end


% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)

2.2 Método de Euler Explícito

% Ecuación de ondas con Euler explícito

% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)
% u_t(x,0)=v0(x)

% Datos del problema
L=10;
T=40;

% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Datos iniciales
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));
U(1,:)=[0, [W0(1:N-1)]',0];


for n=1:length(t)-1
WW=WW+dt*M*WW;
U(n+1,:)=[0, [WW(1:N-1)]',0];
end

[xx,tt]=meshgrid(x,t);

% Dibujamos la solución
figure(2)
surf(xx,tt,U)

2.5 Método de Fourier

% Datos del problema
L=10;
T=40;
k=5;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;

% Posición inicial
u0=(2*x)/5.*(x<=5)+(2*(10-x)/5).*(x>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Fourier
for i=1:k
p=sin((i*pi/10)*x);
fp(i)=trapz(x,p.*u0)/trapz(x,p.*p);
end

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

sol=0;

% Fourier
for j=1:k
sol=sol+fp(j);
end

% Dibujamos la solución
figure(5)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)

3 Energía del cable

Programado nuestro código matlab, realizaremos ahora el cálculo de la energía del cable:

% Calculamos la energía 
ut=[WW(N-1:length(WW));0];

ux=zeros(length(t),length(x));
ux(1,:)=(2/5).*(x<=5)+(-2/5).*(x>5);


for q=2:length(t)-1
for J=1:length(x)-1
ux(q,J)=(U(q,J+1)-U(q,J))/dx;
ux(q+1,J)=(U(q,J)-U(q+1,J))/dx;
end
end

E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,ux.^2);

figure(2)
plot(E,t)

3.2 Cable sujeto a vibraciones periódicas en un extremo

Ahora suponemos que nuestro cable esta sujeto en su extremo derecho a una estructura que sufre vibraciones periódicas con frecuencia [math]F_0[/math] bajo la función [math]f(t)=sin(2*pi*F_0*t)[/math]. Para lo que consideraremos[math]F_0=\frac{1}{L}+0.01[/math], que también el cable parte del reposo. Consideraremos un tiempo [math]t∈[0,60][/math]

% Aproximar la ecuacion de ondas
% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=sin(2*pi*F0*t)
% u(x,0)=0
% u_t(x,0)=0

% Datos del problema
L=10;
T=60;
F0=(1/L)+0.01;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Diferencias finitas
% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;

% Posición inicial
U=[0*xint];
V=[0*xint];
sol(1,:)=[0,U,0];
f=zeros(1,N-1);

for n=1:length(t)-1
Z=U+dt*V;
W=[V']-dt*K*[U'];
U=Z;
V=[W'];
sol(n+1,:)=[0,U,sin(2*(pi)*F0*t(n))];
end


% Dibujamos la solución
figure(3)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,sol)


% Calculamos la energía 
ut=[0,V];
ux=[U];

% Utilizamos el método de Euler implícito
for n=1:length(x)-1
ux=(eye(N-1)+dx*K)\(ux+dx.*f);
UX(n+1,:)=[0, ux']; 
end


E=trapz(x,ut.^2)+trapz(x,UX.^2);

figure(4)
plot(E,t)