Cable de una estructura civil. (Grupo 16B)

Trabajo realizado por estudiantes
Título	Cable de una estructura civil. Grupo 16
Asignatura	Ecuaciones Diferenciales
Curso	Curso 2013-14
Autores	Javier Díez Olaya 121 Javier Lozano Aragoneses 248 Enrique Martínez Mur 271 Begoña Bigeriego Alvarez 637
Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura

1 Modelización de problema

[math] pu_{tt}-Zu_{xx}=f(x,y); x∈[0,L]; t\gt0\\ \begin{cases} u(0,t)=g_{1}(t)\\ u(L,t)=g_{2}(t)\\ \end{cases}\\ \begin{cases} u(x,0)=A(x)\\ u_{t}(x,0)=B(t)\\ \end{cases}\\ [/math]

Modelo de cable sujeto por ambos extremos expuesto a vibraciones.

[math] \begin{cases} u_{tt}-u_{xx}=0; x∈[0,10]; t\gt0\\ \begin{cases} u(0,t)=0\\ u(10,t)=0\\ \end{cases}\\ \begin{cases} u(x,0)=0\\ u_{t}(x,0)=0\\ \end{cases}\\ \end{cases}\\ [/math]

2 Desplazamiento vertical del cable

2.1 Método del Trapecio

Sujetamos el cable desde el centro y lo desplazamos 2 m en la dirección perpendicular. Al soltarlo, este empieza a vibrar. Aproximar [math]u(x; t)[/math] por el método de diferencias finitas con [math]Δx = 0.1[/math], y usar el método del trapecio tomando [math]Δx = Δt[/math]. Dibujar la solución en tiempo [math]t ɛ [0,40][/math]

% Aproximar la ecuacion de ondas
% u_tt-u_xx=0, x en (0,L)
% u(0,t)=0
% u(L,t)=0
% u(x,0)=u0(x)=0
% u_t(x,0)=v0(x)=0

% Datos del problema
L=10;
T=40;
% Discretización espacial
dx=0.1;
N=L/dx;
% Vector de puntos espaciales
x=0:dx:L;
% Vector de espacio en los nodos interiores
xint=dx:dx:L-dx;
% Diferencias finitas
% Aproximación de -u_xx
K=2*diag(ones(1,N-1))-diag(ones(1,N-2),1)-diag(ones(1,N-2),-1);
K=(1/dx^2)*K;
F=zeros(N-1,1);

% Discretización temporal
dt=dx;
% Vector de tiempos
t=0:dt:T;

% Posición inicial
u0=(2*xint)/5.*(xint<=5)+(2*(10-xint)/5).*(xint>5);
v0=zeros(N-1,1);

% Aproximación en tiempo
% Matriz M
M=[zeros(N-1), eye(N-1); -K, zeros(N-1)];

% Dato inicial
W0=[u0,v0']';

%Método del trapecio
WW=W0;
U=zeros(length(t),length(x));

% Definimos la matriz sol con la u para pintarla
sol=zeros(length(t),2*N);
sol(1,:)=[0,W0',0];
U(1,:)=[0,u0,0];

% Iteraciones W^j->W^j+1
for j=1:length(t)-1
WW=(eye(2*N-2)-(dt/2)*M)\((eye(2*N-2)+(dt/2)*M)*WW);
sol(j+1,:)=[0,WW',0];
U(j+1,:)=[0,WW(1:N-1)',0];
end


% Dibujamos la solución
figure(1)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
surf(xx,tt,U)