Ecuación Logística (método del trapecio)
Este artículo explica la resolución de la ecuación logística por el método del trapecio. Este es un método implícito cuya diferencia con el método de Euler es que para obtener el siguiente valor de la aproximación a la solución del problema de valor inicial se debe resolver una ecuación algebraica. Este es el principal inconveniente de los métodos implícitos frente a los explícitos.
1 Definición
Usada para simular el crecimiento o decrecimiento de poblaciones, el problema de valor inicial puede definirse como:
[math]y' = y\cdot (1-y), \quad t\in(t_0,\infty) [/math]
[math]y(t_0) = y_0[/math]
Donde, t es el tiempo, [math]y(t)[/math] representa el tamaño de la población y [math]y_0[/math] el tamaño de la población en el instante inicial [math]t=t_0[/math].
2 Esquema numérico
El método del trapecio se define como:
[math] y_0, \; t_0 [/math]
[math]y_{n+1} = y_{n} + h\cdot y_{n}\cdot(1 - y_{n})[/math] [math]y_{n+1} = y_{n} + 0.5\cdot h\cdot [ f(t_{n},y_{n}) + f(t_{n+1},y_{n+1} ][/math]
La ecuación algebraica a resolver sería:
[math]y_{n+1} = y_{n} + 0.5\cdot h\cdot [ y_{n}\cdot(1 - y_{n}) + y_{n+1}\cdot(1 - y_{n+1}) ][/math]
3 MATLAB code
clear all % antes de comenzart0=0; tN=4; % el intervalo de tiempo es de 0s a 4sN=40; h=(tN-t0)/N; %40 intervalos con paso hy0=1/10; % valor inicialyy=y0;y(1)=yy % inicio del buclefor n=1:N yy= (1/h)*(0.5*h-1+sqrt((1-0.5*h)^2+4*(h/2)*(yy+0.5*h*yy*(1-yy)))); y(n+1)=yy;endt=t0:h:tN;plot(t,y,'x') % dibujo de la solución
