Nivel piezométrico en acuífero confinado-Grupo 12
| Trabajo realizado por estudiantes | |
|---|---|
| Título | Nivel piezométrico en acuífero confinado. Grupo 12-B |
| Asignatura | Ecuaciones Diferenciales |
| Curso | Curso 2013-14 |
| Autores | Irene Tomás del Barco, Sarah Boufounas, Daniel Antonio Rodríguez Sarmiento, Mar González Ormeño |
| Este artículo ha sido escrito por estudiantes como parte de su evaluación en la asignatura | |
El contenido de este artículo plantea la situación del nivel piezométrico en un acuífero confinado entre dos capas de terreno horizontales impermeables al construirse un pozo, de sección circular y radio [math]\rho _{0} [/math] ,provocando que el nivel piezométrico cambie Las ecuaciones empleadas para el estudio son la ecuación de conservación de la masa junto con la ley de Darcy, que es una ley experimental que modela el flujo de agua en un medio poroso, estableciendo que el flujo de agua [math] q [/math] es proporcional a la diferencia de presión. La ley de Darcy nos proporciona una buena aproximación del comportamiento del agua en un medio poroso siempre que éste sea homogéneo e isótropo.
Contenido
1 Interpretación
1.1 Hipótesis iniciales
- El acuífero es un medio poroso saturado de agua, ocupando una región infinita y en equilibrio, por tanto [math] h(x,y)= h_{0} [/math] constante para todo +[math](x,y)[/math]
- [math] h(x,y)[/math], nivel piezométrico definido por la altura que alcanzaría el agua al realizar un sondeo en el punto [math](x,y)[/math], va a depender únicamente de la distancia al pozo debido a la simetría del problema.
- OZ coincide con el eje de simetría del pozo, entones [math]\ h = h_\rho [/math] donde [math] \rho [/math] [math] = \sqrt{x^2\; +\; y^2\;} [/math] . Trabajamos en coordenadas polares [math](\rho ,\theta) [/math]
- La sección transversal que atraviesa el agua permanece constante (el espesor del acuífero es constante).
- La difusividad hidráulica [math]D [/math], la suponemos constante.
Un pozo perfora totalmente un acuífero confinado. La situación inicial al bombeo se corresponde a un régimen hidrostático cuyo límite superior es el nivel piezométrico [math] h_\rho [/math]. Una vez que se comienza el bombeo se produce una depresión en dicho nivel de las zonas próximas al pozo, que disminuye gradualmente al aumentar la distancia al pozo. Éste varía con las características del pozo y del acuífero. En conclusión, la presencia del pozo hace que el nivel piezométrico cambie.
El descenso del nivel piezométrico origina un gradiente hidráulico hacia el pozo que hace que el acuífero suministre el caudal q elevado por la bomba. La velocidad del agua es proporcional al gradiente hidráulico por lo que la superficie libre adopta una forma acampanada cuya pendiente se incrementa en la proximidad al pozo.
1.2 Ecuaciones y parámetros
La primera ecuación con la que podemos determinar [math]\ h = h_\rho [/math] es la de conservación de la masa:
:[math] S ·\frac{ \partial h }{ \partial t } + div q = 0[/math]
siendo S el almacenamiento específico, interpretado como la cantidad de agua que sale del acuífero cuando desciende el nivel piezométrico en una unidad por unidad de volumen.
Para conocer completamente [math]\ h = h_\rho [/math] hace falta combinar con una segunda ecuación la de la conservación de la masa , que en este caso es la que explica la ley de Darcy:
:[math] q = - K ·\nabla h [/math]
siendo K la permeabilidad o conductividad hidraulica y deducida para cada material experimentalmente. El flujo de agua que provoca un cambio de presión será mayor, cuanto mayor sea K.
Combinando ambas ecuaciones tenemos como resultado:
[math] \frac{ \partial h }{ \partial t } - D · \Delta h = 0 [/math][math]\rho \gt [/math] [math]\rho _{0}[/math] [math] \quad θ\in (0,2\pi ) \quad t\gt0 \quad [/math] siendo [math] D=\frac{k}{s}[/math] la difusividad hidráulica.
En un caso general , la h dependería de ro y theta expresada en coordenadas polares, es decir,[math]\Delta h(\rho,\theta)[/math].
Por la definición del Laplaciano, esto quedaría como:
[math] \frac{ \partial h }{ \partial t } - D·(\frac{\partial ^2 h}{\partial \rho^2}+ \frac{1}{\rho}·\frac{\partial h}{\partial \rho}+\frac{\partial^2 h}{\partial \theta^2})= 0[/math], [math]\rho \gt[/math] [math]\rho _{0}[/math]
Esta ecuación también se puede obtener si hallamos la divergencia del gradiente de h. Lo primero para hallar q es el gradiente de h (formula gradiente), por tanto q es un campo vectorial. Si se quiere introducir en la ecuación de conservación de la masa, podríamos sustituir el valor de q obtenido dentro de la fórmula que nos obligaría a realizar la divergencia de dicho campo vectorial. Con esto obtendríamos la misma ecuación. Un vez hecho esto la ecuación diferencial sería: (formula ec) Como queremos imponer que nuestra solución sea radial, obligamos a que h dependa únicamente de ro, por tanto su derivada con respecto a theta es = 0. La segunda por consiguiente también. Una vez hecho esto nuestra ec quedaría:
[math] \frac{ \partial h }{ \partial t } - D · \Delta h = 0,[/math] [math]\rho \gt [/math] [math]\rho _{0} [/math]
2.
[math]\frac{\partial h}{\partial t}- D·(\frac{\partial ^2 h}{\partial \rho^2}+ \frac{1}{\rho}·\frac{\partial h}{\partial \rho})[/math]
[math]\h(rho,t)=h\lt/big\gt\lt/big\gt[/math]
[math]h(20,t)=h\lt/big\gt\lt/big\gt[/math]
[math](rho,0)=h\lt/big\gt\lt/big\gt[/math]
2 Resolución numérica por el método de diferencias finitas
2.1 Método del trapecio
2.2 Euler explícito
2.3 Euler implícito
7. [math]\frac{\partial h}{\partial t}=0 [/math] [math]D·(\frac{\partial ^2 h}{\partial \rho^2}+ \frac{1}{\rho}·\frac{\partial h}{\partial \rho})=0[/math]
